Ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES



Ejemplo de aplicación de una ecuación diferencial.
Como un modelo matemático.
Caída libre
En t=0 se suelta
Condiciones iniciales
H (0)=0
V (t=0)=0
g=Constante gravitacional.
Donde h (t) es la posición del cuerpo para cualquier instante de tiempo “t”.02/Febrero/2011
Segunda ley de Newton: ∑Fh =mah a=dv/dt=d2h/dt2 v=dh/dt
a=g
a=dv/dt=g
Definición: A toda igualdad que relaciona a una función desconocida o variable dependiente con su variable independiente y sus derivadas, se le llama ecuación diferencial ordinaria.
Solución: Sedice que una función y(t) es solución de una ecuación diferencial si al sustituirla en ella se satisface la identidad.
E.D. Ordinaria
dv/dt = g :Separando variables.
Multiplicando por dt.
dv = gdt
Integrando
dv=gdt
v+c1 = gt + c2
v=gt+c2-c1 c=c2-c1
v=gt+ c
Derivando respecto a t.
dv/dt=g
Sustituyendo
g=g
Cuando hablamos de más de una solución la llamamos solución general.04/Febrero/2011
Definiciones
Orden de una ecuación diferencial: Es el exponente de la derivada mayor.
Grado: Es el exponente de la mayor orden.
Ejemplos: Clasificar las siguientes E.D.
1.-d2y/dx2+ 3 dy/dx =0; E.D.O. de segundo orden y primer grado.
2.- (dy/dx)2 +3x = cos x E.D.O. de primerorden y segundo grado.
3.- dy/dx +3x = cos x E.D.O de primer orden y primer grado.
Definición de una E.D de orden “n”
Pn=an xn +an-1 xn-1+…a1 x1 + a0 x0 Polinomio de grado n.
Ecuación diferencial lineal de orden n (Siempre será de 1er grado.
Si ai (x); i=0,...n son funciones; E.DL. de orden “n” y coeficientes constantes.
Ejemplos:
1.- d2y/dx2 + 3x dy/dx = 4 si n=2: a2 (x) y’’ (x) +a1 (x) y’ (x) +a0 (x) +y (x) = T(x)
a2 (x) = 1 a1 (x) =3 T(x)=4 E.DO. Lineal de segundo orden y coef. variables, no homogénea.
2.- d2y/dx2 + 3 dy/dx =4 E.D.O. lineal, de segundo orden y coef. ctes, no homogénea.
3.- 4x d2y/dx + 3 dy/dx = 4 E.D.O lineal, segundo orden y coef. variables, no homogénea.
4.-(d2y/dx2)2 + 3 dy/dx = 4 E.D.O no lineal segundo orden, grado dos.

Tema IE.D.O. de primer orden.
Forma general es: f(x,y’) = 0 o dy/dx = f(x,y)
1.1 E.D.P.O. de variables separables.
dy/dx = f(x,y) ; f(x,y) = g(x) p(y)
dy/dx = g(x) p(y) ; Separando variables.
Multiplicando por dx y multiplicando por (1/py)
dy/p(y) = g(x)dx
Integrando
dypy= gxdx+c
Ejemplo: Resolver la siguiente E.D
cos x dx + (1+2/y) sen x dy =0
Multiplicando por (1/senx)
cosx/ senx dx + (1+ 2/y) dy =0
Integrando
cosxsenxdx+2dyy=c
ln sen x + y + 2 ln (y) =0 Solución general en forma implícita.
2.- Obtener la solución ypg: donde la solución general en forma implícita es:
ln sen x + y+ 2 ln y = c ; Dada la condición : y(π/2) =1
Para obtener el valor de c se evalúa la condición.
ln sen (π/2) + 1+ 2 ln (1)= c
c=1
ln sen x + y + 2 ln y = 1
ln sen x + y+ ln y2 = 1
3.- Resolver la E.D.O.
dy/dx = -x/y ; y ≠ 0
dy = -x/y dx Multiplicando por (1/y)
dyy=-xdx+c Integrando
ln y = -x2/2 +c Solución general en forma implícita.
09/Febrero/2011
1.2 Ecuación diferencial homogénea.
Se dice que la función f(x,y) es homogénea y de grado “n” sise satisface lo siguiente:
f(x,y) = f(tx,ty)= tn f(x,y)
f(x,y) =tn f(x,y)
Ejemplo:
1.- Indicar si las siguientes funciones son o no homogéneas.
1.1 f(x,y) = xy + y2
f(x,y) = (tx)(ty) + ty2 = t2 (x,y) + t2y2 = t2 (xy + y2) Si es homogénea y de grado 2.
1.2 f(x,y) = 2xy e(xy)2
f(x,y) = 2 ((tx)(ty)) e(txty)2 = a t2 (xy) etx/ty2 = t2 (2xy ex2y2) Si es homogénea y de grado 2....