ecuaciones diferenciales

Relación de orden de ecuaciones diferenciales ordinarias de grado n
A(x) + P(x) = Q(x)
A(x) + =
+ 0 + 0 + 0 + =
C.V: 1 C.V: 2 C.V: 3
u = m = z =
= = =
= = m = += u = +
y = +
La ecuación queda
+ + =
+ =




1. Determinar la función de la ecuación diferencial ordinaria:
= 5x


C.V
u =
= 1
=
Y = + 2
Sustituimos (1) en la ecuación
= 5x
du = 5xdx

u + = +
Quien es “u”
u = +
+
+ Ecuacióndiferencial Ordinaria de “Variables separables”
dy =

y = Solución General
Para: y y (1) = 2
Sustituimos

0 = +


Sustituyo y (1) = 2
y =
2 = (1) +
= -
Solución Particular
y =
Operador Diferencial
Eloperador se denota con la letra “D” y representa la derivada de una función, ayudando de esta forma a reducirla de forma algebraica.






y = 5x

Conjunto de funciones con dependencia lineal
Un conjunto de funciones y ……………. Es linealmente dependiente en un intervalo si por lo menos una función se puede expresar, como función lineal de las restantes.
Ejemplo: Sea el conjunto defunciones

=
=
=
En el intervalo de - hasta y con 1 y - 1
(x) + (x) + (x) + (x) = 0
+ = 0
Identidad Trigonométrica


1 – ( + 1) + = 0
1 – 1 – = 0
0 = 0

Y = 8 + c
Y = k + c

Conjunto de funciones linealmente dependiente

Un conjunto de funciones y ……………. Es linealmente independiente si ninguna función puede escribirse como función linealde otra y se debe cumplir que el WRONSKIANO, de ……… . sea diferente de “0· para todo x.

WRONSKIANO: Si cada una de las funciones , ……………. Posee al menos n- 1 derivada, el determinante:

W [, …………… =

Ejercicio: Sea las funciones



Demostrar si el conjunto de solución es o no linealmente dependiente.

W ()= 0 no es linealmente dependiente


W () =

(18 + 4 + 3) – (2 + 12 + 9)
25 - 23
2
Ejercicio 2:
Sea las funciones
Cos (2x)
Sen (2x)
Demostrar si son solución de la ecuación diferencial ordinaria - 2 + 5y = 0
Además si lo son, demostrar si el conjunto de solución es linealmente dependiente o no.Comprobar con Cos(2x)
) + (Cos(2x))
Sen(x) + Cos (2x)
-2 Cos (2x) + Sen(2x) ] + [ -2 Sen(2x) + Cos(2x) ]
Cos (2x) - 4 Sen(2x)
Sustituyo en la ecuación diferencial ordinaria.
( Cos (2x) - 4 Sen(2x)) – 2 ( Cos (2x) + Sen(2x)) + 5 Sen 2x) = 0
Sen(2x) [ - 2 + 5 ] + Cos(2x) [44 ] = 0
0 = 0
Cos(2x) Es solución de la ecuacióndiferencial ordinaria

Con Sen (2x)
cos (x) + sen(2x)
2 sen (2x) + cos(2x) ] + [ 2 cos(2x) + sen(2x) ]
sen (2x) + 4 cos (2x)
Sustituyo en la ecuación diferencial ordinaria.
( sen(2x) + 4 cos (2x)) – 2 (Cos (2x) + Sen(2x)) + 5 Sen (2x) = 0
Sen(2x) [ - 2 + 5 ] + Cos(2x) [44 ] = 0
0 = 0
Sen (2x) Es solución de la ecuacióndiferencial ordinaria
W (Cos (2x), sen (2x) =


W = Cos(2x) [ 2 Cos(2x) + sen(2x) ] - [ sen(2x) (-2sen(2x) + Cos(2x))
W = 2 Cos (2x + Cos (2x) Sen (2x) + Sen (2x - Cos (2x) Sen(2x)
W = 2 [Cos (2x + Sen (2x]
W = 2
Cos (2x)
Sen (2x)
Son linealmente independientes.


Ecuaciones Homogéneas
Es una ecuación diferencial de n – esimo orden de la forma:
(x) + (x) +…………………………+ +...