Ecuaciones Diferenciales

Hernando Gonzu00e1lez A

E.D.O Lineales de Orden Superior

UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ
CÁTEDRA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
PROF. HERNANDO GONZÁLEZ A.

ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA (E.D.O) LINEAL DE ORDEN
SUPERIOR DE COEFICIENTES CONSTANTES
Una E.D.O lineal de orden n con coeficientes constantes tiene la forma
a0

dny
dxn

 a1

d n1y

d2y
dy
     an2 2  an1  any  f  x
n1
dx
dx
dx

(1.1)

la cual, también se puede escribir de la siguiente manera
a 0 y n   a1 y n 1      a n  2 y   a n 1 y   a n y  f  x 

(1.2)

en donde los coeficientes ai   i = 0,1,2,…,n son constantes, a 0  0 y f  x  será
continua en un intervalo abierto I  ( a, b) . Si f  x   0 se dice que (1.1) es una
ecuación lineal homogénea

a0dn y
d n1 y
d2 y
dy
 a1 n1      an2 2  an1  an y  0
n
dx
dx
dx
dx

(1.3)

en cambio si f  x   0 la ecuación es no homogénea o completa.
En cursos previos, se ha establecido que, D 

lineal, es decir

d
, es un operador o transformación
dx

d
c1 y1  c 2 y 2   c1 d y1  c 2 d y 2
dx
dx
dx

En el estudio de la ecuación lineal de orden n (1.1) seutilizarán los operadores
lineales D, D 2 , D 3 , ... , D n , los cuales definen la operación de derivar de la manera
siguiente

d
d2
dn
2
n
D  , D  2 , ... , D  n
dx
dx
dx

Mediante esta notación se puede escribir la ecuación (1.1) como
a 0 D n y  a1 D n 1 y      a n  2 D 2 y  a n 1 Dy  a n y  f  x 

(1.4)

Hernando González A
debido a que D 

E.D.O Linealesde Orden Superior

d
es un operador lineal, D n también lo es, y como todos estos
dx

operadores son aplicados a la misma función, entonces (1.4) puede escribirse como

a D
0

n



 a1 D n 1      a n  2 D 2  a n 1 D  a n y  f  x 

 n

  a i D n i  y  f  x 


 i 0


o bien para abreviar la ecuación (1.1) puede escribirse como

P D  y  f x 

(1.5)

y, en particular, una ecuación diferencial homogénea puede expresarse como

PD  y  0

(1.6)

considerando el operador diferencial lineal P(D) de orden n como un polinomio
simbólico en D, con todas las propiedades inherentes a los polinomios algebraicos,
mientras que PD  y indicará el conjunto de operaciones a realizar con la función y.
TEOREMA
Si y1 , y 2     y nson n soluciones de la ecuación P D  y  0 , entonces

y  c1 y1  c 2 y 2       c n y n
es solución de P D  y  0 .
Demostración:
Se tiene que

PD c1 y1  c 2 y 2       c n y n   c1 PD  y1  c 2 PD  y 2       c n PD  y n
pero por hipótesis PD  y1  0, PD  y 2  0    PD  y n  0 luego se tiene

PD c1 y1  c 2 y 2       c n y n   c1.0  c 2 .0      c n .0  0
por lo tanto, y  c1 y1  c 2 y 2       c n y n es solución de P D  y  0 .

Hernando González A

E.D.O Lineales de Orden Superior

La solución general de una E.D.O debe contener tantas constantes como lo
indique el orden de la ecuación diferencial; por lo tanto, es de esperarse que la E.D.O
homogénea (1.3) tenga una solución general con nconstantes arbitrarias esenciales de
integración c1 , c 2 , c3 ,...., c n , ci   , así se puede decir, que la solución general tendrá
la forma

y  c1 y1  c 2 y 2 c3 y 3      c n y n
que es una combinación lineal de n soluciones particulares de (1.3) y1 , y 2 , y3 ,....., y n
linealmente independientes entre sí.
DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL
Un conjunto de funciones y1  x, y 2  x ,..., y n  x  es linealmente dependiente
en un intervalo I si existen constantes c1 , c 2 ,..., c n , no todas cero, tales que

c1 y1  x   c 2 y 2  x   ...  c n y n  x   0

(1.9)

para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en
el intervalo, se dice que es linealmente independiente.
Observe que c1  c 2  ...  c n  0...