Ecuaciones diferenciales

TEMA 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN MAYOR O IGUAL A DOS.

Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior

Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma

[pic]

En donde "X" es una función de "x" únicamente, o una constante para integrar

[pic]

El proceso anterior se repite (n-1) veces, de esta manera se obtendrá lasolución general, que contendrá "n" constantes arbitrarias

Ejemplo –

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Las siguientes ecuaciones tiene la forma

[pic]

Donde "Y" es una función de "y" únicamente

[pic]

[pic]

Lo anterior es valido por [pic]

[pic]

[pic]El segundo miembro es una función de y. Extrayendo la raíz cuadrada, las variables "x" e "y" quedan separadas. Y podemos integrar otra vez

Problemas propuestos –

Hallar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

2.1 Reducción de orden
En matemáticas, la reducción de orden es una técnicautilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Se utiliza cuando la primera de dos soluciones (y1) es conocida y se busca la segunda (y2).
Uso
Dada una ecuación diferencial
[pic]
y una sola solución (y1(t)), y sea la segunda solución definida por
[pic]
donde v(t) es una función arbitraria. Así,
[pic]
y
[pic]
Si se sustituyen por y, y', yy'' a la ecuación diferencial, entonces
[pic]
Como y1(t) es solución de la ecuación diferencial original, y1''(t) + p(t)y1'(t) + q(t)y1(t) = 0, se puede reducir a
[pic]
que es una ecuación diferencial de primer orden por v'(t). Dividiendo por y1(t), se obtiene
[pic]
y v'(t) se puede encontrar utilizado el método general:
[pic]
Una vez se ha encontrado v'(t), seintegra y se sustituye a la ecuación original por y2:
[pic]

El método de reducción de orden visto para las ecuaciones lineales homogéneas, puede aplicarse igualmente a las ecuaciones lineales completas [pic].
La sustitución y = y1(x)u donde y1(x) es una solucion particular de la correspondiente ecuación homogénea, reduce la ecuación completa a otra completa de primer orden, en la variabledependiente [pic]

Ejemplo 14:

Resolver la ecuación: x2y’’ – x(x + 2)y’ + (x + 2)y = x3, buscando por inspección una solución particular de la correspondiente homogénea.

Es evidente que y1 = x es una solución particular de la correspondiente homogénea.
Efectuando el cambio y = xu, resulta:

y = x u
y’ = u + x u’ En la ecuación completa:
y’’ = 2u’ + x u’’

x2 [2u’+xu’’] – x (x +2) (u + xu’) + (x + 2) xu = x3

Luego: x3 u’’ – x3 u’ = x3, es decir: u’’ - u’ = 1

Tomando u’ = v , es (’ - ( = 1. Luego : ( = C1 ex – 1

Por tanto: u = C1 ex – x + C2. Es decir: y = C1 x ex – x2 + C2 x

También podría resolverse la correspondiente homogénea usando el método de reducción de orden y buscando luego una solución particular de la completa por el métodode variación de las constantes.
Ejemplo 15:

Resolver la ecuación: [pic] sabiendo que una solución particular de la correspondiente homogénea es y1 = sen x y una particular de la completa yp = cos x

Evidentemente la solución general buscada tendrá la forma: [pic]
Basta buscar otra solución particular y2 de la homogénea. Para ello se empleará la reducción de orden en la homogénea,pues ya se conoce una solución particular de la completa.

Cambio en la homogénea: [pic]. Resulta:
y = u sen x
y’ = u cos x + u’ sen x
y’’= 2u’cosx – u sen x + u’’senx

Sustituyendo en la ecuación L(y( = 0:

(sen 3 x)u’’ + (2 sen2 x cos x – 3 sen2x cos x) u’ = 0 ( (sen x)u’’ – (cos x)u’ = 0
u’ = v (sen x)v’ - (cos x)v = 0 [pic]

v = a·senx Una solución...