Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
TAREA I
Alumnos: Ang´lica Noem´ Avila Villanueva
e
ı ´
Amayrani barrera
Miguel Angel ceballos barrera
9 de septiembre de 2011

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Ecuaciones Con Coeficientes Homogeneos
¿ Qu´ es una ecuaci´n con coeficientes homogeneos ?
e
o

Es una ecuaci´n de la forma
o
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
donde M , N son funciones homogeneas del mismo grado.
Si laecuaci´n esta en su forma normal :
o
dy
= f (x, y)
dx
se dice que la ecuaci´n diferencial es de coeficientes homogeneos , si f (x, y)
o
es una funci´n homogenea de grado cero.
o

¿Qu´ es una funci´n homogenea?
e
o
una funci´n homogenea es aquella de la forma :
o
f (x, y) =

dy
dx

tal que cumple que al multiplicar el argumento por un factor entonces el
resultado es unamultiplicaci´n por alguna potencia de este factor es decir:
o
f (tx, ty) = tn f (x, y)
observemos que seg´n nuestra definici´n una funci´n de grado cero es
u
o
o
aquella en donde el grado del factor es cero es decir:
f (tx, ty) = t0 f (x, y) = f (x, y)

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Ejemplos:
determina si las siguientes funciones son homogeneas y de que grado son.

1. f (x, y) = x3 y
2. f (x, y) = x4 + y 4
3. f (x,y) =

x3 y
x4 +y 4

Soluciones
Soluci´n 1.
o
f (tx, ty) = (tx)3 ty = t4 x3 y = t4 (x3 y) = t4 f (x, y)
por lo tanto esta funci´n es homogenea de grado 4
o
Soluci´n 2.
o
f (tx, ty) = (tx)4 + (ty)4 = t4 x4 + t4 y 4 = t4 (x4 + y 4 ) = t4 f (x, y)
por lo tanto esta funci´n es homogenea de grado 4
o
Soluci´n 3.
o
f (tx, ty) =

(tx)3 ty
t4 x3 y
t4 x3 y
x3 y
= 4 4
= 4 4
= 4(tx)4 + (ty)4
t x + t4 y 4
t x + y4
x + y4

Por lo tanto esta funci´n es homogenea de grado cero.
o
Observacion: notemos que esta ecuaci´n la podemos escribir como
o
(x3 y)dx + (x4 + y 4 )dy = 0
en donde M = x3 y y N = x4 + y 4 de nuestra primera definici´n y de
o
los ejemplos (1) y (2) es f´cil ver que M y N son funciones homogeneas
a
del mismo grado. Cumpliendo asi con nuestras dosdefiniciones.

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Proposici´n:
o
si
y
f (tx, ty) = tk f (x, y) ⇒ f (x, y) = xk f (1, )
x
prueba :
Como

y
f (x, y) = f (x · 1, x · )
x
Entonces, tomando a x como parametro
y
f (x, y) = xk f (1, )
x
Teorema
Si la ecuaci´n diferencial de primer orden
o
y = f (x, y)
es de coeficientes homogeneos , entonces el cambio de variable
y = ux
la reduce a una ecuaci´n diferencial envariables separadas.
o

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Demostraci´n:
o
Sea

dy
= f )(x, y).....(1)
dx
sustituimos y = ux en (1) y obtenemos
x

du
+ u = f (x, ux)
dx

Pero como f (x, y) es una funci´n homogenea de grado cero tenemos
o
que :
du
x + u = x0 f (1, u)
dx
de donde
du
du
dx
x
= f (1, u) − u ⇒
=
dx
f (1, u) − u
x
Lo cual es separable como se queria.

En resumen, los pasos principales pararesolver una ED de coeficientes
homog´neos son:
e
1. Revisar si M y N son funciones homogeneas del mismo grado
2. Emplear la sustituci´n y = ux si N es la funci´n m´s sencilla, o
o
o
a
x = yv si M es la funci´n m´s sencilla
o
a
3. Separar las variables
4. Realizar la integraci´n. Si las integrales resultan muy dif´
o
ıciles,
intentar con otra sustituci´n.
o
5. Escribir la soluci´nen t´rminos de las variables x , y.
o
e

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Ejemplo 1. Resuelva la ecuaci´n (y 2 + 2xy)dx + (x2 )dy = 0 [William
o
E. Boyce]
Siguiendo los pasos listados:
1.- Revisemos si M y N son funciones homog´neas del mismo grado :
e
M (x, y) = y 2 + 2xy ⇒
M (tx, ty) = (ty)2 + 2txty
= t2 y 2 + 2t2 xy
= t2 (y 2 + 2xy)
= t2 M (x, y)
Por lo tanto M (x, y) es una funci´n homog´nea de grado 2.
oe
N (x) = x2 ⇒
N (tx) = (tx)2
= t 2 x2
= t2 N (x)
Por lo tanto N (x) es una funci´n homog´nea de grado 2.
o
e
Entonces la ecuaci´n a resolver es de coeficientes homog´neos.
o
e

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2.- Dado que N es la funci´n m´s sencilla aplicamos y = ux .
o
a
(u2 x2 + 2x2 y)dx + x2 dy = 0
⇒ (u2 x2 + 2x2 u)dy + x2 dy = 0
⇒ (u2 x2 + 2x2 u) = −x2
dy
⇒ u2 x2 + 2x2 u = −x2
dx
x2 (u2 + 2u)...