Ecuaciones diferenciales

Asignatura: Curso: Tema:

Matemáticas Universidad Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (Introducción)

1.- Prueba si la función dada es una solución de la ecuación diferencial.

a)

2 y´+ y = 0

(1)

y= e

−

x 2

(2)

x 1 −2 (3) y´= − e 2

(2) y (3) en (1)

x x x x − − −  1 −2 2 2 2 2 − e  + e = − e + e = 0  2 

De lo cual se concluye que (2) SI es solución de (1)b)

y′′ + y′ = senx (1) y′ =

y=

1 1 senx − cos x + 10e − x (2) 2 2

(3) (4)

1 1 cos x + senx − 10e− x 2 2 1 1 y′′ = − senx + cos x + 10e− x 2 2

(3) y (4) en (1) 1 1 1 1 − senx + cos x + 10e− x + cos x + senx − 10e − x = 2 2 2 2 1 1 1 1 − senx + cos x + cos x + senx = cos x 2 2 2 2
De lo cual se concluye que (2) NO es solución de (1)

c)

( y′ )

3

+ xy′ = y

(1)

y= x + 1 (2)

(3) y′ = 1 (2) y (3) en (1)

( 1)

3

+ x ( 1) = 1 + x = x + 1 y = x 2e x (2)
1

De lo cual se concluye que (2) SI es solución de (1)

d)

y′′′ − 3 y′′ − 3 y′ − y = 0

(1)

(3) y′ = 2 xe x + x 2e x = e x ⋅ ( x 2 + 2 x) (4) y′′ = e x ⋅ ( x 2 + 2 x) + e x ⋅ (2 x + 2) = e x ⋅ ( x 2 + 4 x + 2) (5) y′′′ = e x ⋅ ( x 2 + 4 x + 2) + e x ⋅ (2 x + 4) = e x ⋅ ( x 2 + 6 x +6) (2),(3),(4) y (5) en (1) y′′′ − 3 y′′ − 3 y′ − y = e x ⋅ ( x 2 + 6 x + 6) − 3e x ⋅ ( x 2 + 4 x + 2) − 3e x ⋅ ( x 2 + 2 x) − x 2e x = e x ⋅ ( x 2 + 6 x + 6 − 3x 2 − 12 x − 6 − 3x 2 − 6 x − x 2 ) = e x ⋅ (− 6 x 2 − 12 x) ≠ 0
De lo cual se concluye que (2) NO es solución de (1) 2.- Indica el orden, linealidad y grado de las siguientes EDO.

(a) (b)

yy′ + 2 y = 1 + x 2 x 2 dy + ( y − xy − xe x)dx = 0 x 2 y′ + y − xy − xe x = 0  d2y  1+  2   dx  1 + ( y′′ )
2 2

(c )

dy = dx y′ =

Orden 1 No lineal Grado 1 Orden 1 Lineal Grado 1 Orden 2 No lineal Grado 2

(d ) ( e) (f)

(1 − y 2 )dx + xdy = 0 1 − y 2 + xy′ = 0 y′ 2 + 2 xy′ − y = 0 ( x + 1) 2 y′′ + 3( x + 1) y′ + 2 y = x + 2

Orden 1 No lineal Grado 1 Orden 1 No lineal Grado 2 Orden 2 Lineal Grado 1

3.- Prueba quey = -cosx ln(secx + tgx) es una solución en forma explícita de la EDO: y´´+y = tgx.

(1) (2)

y′′ + y = tan x y = − cos x ⋅ ln(sec x + tan x)
2

(3)

y′ = senx ⋅ ln(sec x + tan x) − cos x ⋅ senx ⋅ ln(sec x + tan x) − cos x ⋅ senx ⋅ ln(sec x + tan x) −

1 1   ⋅  sec x ⋅ tan x + = sec x + tan x  cos 2 x 

1 1   1 ⋅ ⋅ tan x + = sec x + tan x  cos x cos 2 x 

1 cos x  cos x ⋅ ⋅ tan x + = sec x + tan x  cos x cos 2 x  1 1   senx ⋅ ln(sec x + tan x) − ⋅  1 ⋅ tan x + = sec x + tan x  cos x  1 senx ⋅ ln(sec x + tan x) − ⋅ ( tan x + sec x ) = sec x + tan x senx ⋅ ln(sec x + tan x) − 1
(4) y′′ = cos x ⋅ ln(sec x + tan x ) + senx ⋅ cos x ⋅ ln(sec x + tan x) + senx ⋅ 1 1   ⋅  sec x ⋅ tan x + = sec x + tan x  cos 2 x 

1 senx 1   1 ⋅ ⋅ + = sec x +tan x  cos x cos x cos 2 x 

 sen 2 x senx  1 cos x ⋅ ln(sec x + tan x) + ⋅ + = sec x + tan x  cos 2 x cos 2 x   sen 2 x + senx  1 cos x ⋅ ln(sec x + tan x) + ⋅ = 1 senx  cos 2 x  + cos x cos x sen 2 x + senx cos 2 x cos x ⋅ ln(sec x + tan x) + = 1 + senx cos x senx ⋅ ( 1 + senx ) cos 2 x cos x ⋅ ln(sec x + tan x) + = 1 + senx cos x senx ⋅ ( 1 + senx ) ⋅ cos x cos x ⋅ ln(sec x +tan x) + = ( 1 + senx ) ⋅ cos 2 x cos x ⋅ ln(sec x + tan x) + senx = cos x ⋅ ln(sec x + tan x) + tan x cos x

3

(2) y (4) en (1) y′′ + y = tan x cos x ⋅ ln(sec x + tan x) + tan x − cos x ⋅ ln(sec x + tan x) = tan x
4.- Prueba que xy =ln(y)+C es una solución en forma implícita de la ecuación diferencial y ´=(y2)/(1-xy).

xy = ln( y ) + C
Derivamos ambos miembros:

d ( xy ) = 1 ⋅ y + xy′dx  d d d dy dy  d 1 ( ln( y ) + C ) = ln( y ) = ⋅ ⋅ ln( y ) = ⋅  ⋅ ln( y )  = y′ ⋅ dx dx dx dy dx  dy y 
Reuniendo ambas expresiones:

y + xy′ = y′ ⋅

1 y

⇒ ⇒

y = y′ ⋅

1 − xy′ y

⇒

1  y = y′ ⋅  − x   y 

⇒

 1 − xy  y = y′ ⋅    y 

y2 y′ = 1 − xy

5.- Prueba que x e y son una solución en forma paramétrica de la EDO siguiente:

1   x = − 2t + t  2...