ecuaciones diferenciales

Caso III:
² - ² < 0.En este caso se dice que el sistema está subamortiguado, ya que el coeficiente de amortiguación es pequeño comparado con la constante del resorte. Las raíces m1 y m2 son ahora complejas. m = -  + "(² - ²)i m = -  - "(² - ²)i
y por lo tanto la solución general es:
x(t) = e [C1 cos "(² - ²)t + C2 sen "(² - ²)t]
Ejemplo:
Un cuerpo que pesa 8lb. estira unresorte 2 pie. Suponiendo que una fuerza de amortiguación numéricamente igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema y que el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 3pie/s, determinar la ecuación del movimiento.
solución:
Por la ley de Hooke tenemos:
8 = k (2), k = 4lb/pie
y por m = W/g
m = 8/32 = 1/4slug.
En consecuencia, laecuación diferencial del movimiento es:
1/4 d²x/dt² = - 4x - 2 dx/dy ó bien d²x/dt² + 8 dx/dt + 16x = 0
Las condiciones iniciales son:
x(0) = 0, dx/dt% = - 3
%t = 0
Ahora bien, la ecuación auxiliar de d²x/dt² + 8 dx/dt + 16x = 0 es:
m² + 8m + 16 = (m + 4)² = 0
De modo que m1 y m2 = - 4. Por lo tanto, el sistema está críticamente amortiguado y: x(t) = - 3te es la ecuación de movimiento.Movimiento Vibratorio forzado con amortiguación:
Supongamos que se considera una fuerza (t) que actúa sobre una masa oscilante sujeta aun resorte. Por ejemplo, (t) podría representar una fuerza impulsora que causa un movimiento oscilatorio vertical del soporte del resorte. Al incluir (t) en la formulación de la segunda Ley de Newton resulta:
m d²x/dt² = -kx -  dx/dt + (t).
[d²x/dt² +  dx / mdt + (k / m) x = (t) / m] = d²x/dt² + 2 dx/dt + ²x = F(t)
En donde F(t) = (t)/m y, 2 = /m, ² = k/m. Para resolver la ultima ecuación no homogénea podemos usar indistintamente el método de variación de parámetros o el de los coeficientes indeterminados.
Ejemplo:
Interpretar y resolver el siguiente problema de valor inicial
1/5 d²x/dt² + 1.2 dx/dt + 2x = 5 cos 4t
x(0) = 1/2, dx/dt% = 0.
%t= 0
solucion:
Podemos interpretar el problema como una representación de un sistema oscilatorio que consiste en una masa (m = 1/5 Kg) sujeta a un resorte (k = 2 N/m). La masa se suelta, a partir del reposo, desde un punto que está 1/2 unidad (metro) bajo la posición de equilibrio: El movimiento es amortiguado ( = 1.2) y es impulsado por una fuerza externa periódica(T =  / 2 segundos) a partirdel instante t = 0. Intuitivamente, esperamos que aun con amortiguación el sistema se mantenga en movimiento hasta que el instante en que la función forzante se “corte”, en cuyo caso las amplitudes disminuirían gradualmente. Sin embargo, por la forma en que el problema está dado, se tiene (t) = 5 cos 4t permanecerá “en acción” indefinidamente.
Primero multiplicamos 1/5 d²x/dt² + 1.2 dx/dt + 2x= 5 cos 4t por 5 y resolvemos la ecuación homogénea d²x/dt² + 6 dx/dt + 10x = 0 Por los métodos usuales.
Como m1 = - 3 + i, m2 = - 3 - i se tiene que:
xc(t) = e (C1 cos t + C2 sen t).
Usando el método de los coeficientes indeterminados, postulamos una solución particular de la forma xp (t) = A cos 4t + B sen 4t. En tal caso:
xp´ = - 4A sen 4t + 4B cos 4t.
xp´ ´ = - 16A cos 4t - 16B sen 4t.De modo que xp´ ´ + 6 xp´ + 10 xp = - 16A cos 4t-16B sen 4t - 24ª sen 4t
= 24B cos 4t + 10A cos 4t + 10B sen 4t
= (- 6 A + 24B) cos 4t + ( -24A - 6B) sen 4t
= 25 cos 4t
Del sistema de ecuaciones que resulta -6A +24B = 25 y - 24A -6B = 0 da A = -25/102 y B = 50/51. Se tiene pues:
x(t) = e ( C1 cos t + C2 sen t ) - 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4t
Si en la ecuación anterior hacemos t = 0inmediatamente resulta C1 = 38/51. Derivando la expresión y haciendo t = 0 encontramos que C2 = - 86/51. Por lo tanto, la ecuación del movimiento es:
x(t) = e ( 38/51 cos t - 86/51 sen t ) - 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4t
Términos transitorios y estacionario:
Nótese que la función complementaria x(t) = e ( 38/51 cos t - 86/51 sen t) - 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4t del ejemplo precedente tiene la propiedad...