Ecuaciones Diferenciales

|Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales transformables a exactas |


 
Ejercicio 1.
            xdx + ydy = (x2 + y2) dx
            Rescribir la ecuación y probar el criterio de exactitud
                (x2 + y2 - x) dx - y dy = 0               [pic]
            Paso 1.
                     Buscar un factor integrante  [pic]
                         FI = [pic]
                    multiplicar la ecuación por el factor integrante y probar de nuevo el criterio de exactitud
                         (x2 + y2 - x) e-2x dx - y e-2x dy = 0                   [pic]
            Paso 2.
                     Integrar "N" con respecto a "y        [pic]
                    Derivar el resultado con respecto a "x" eigualarla a "M"
                          y2 e-2x + G´(x) = x2 e-2x + y2 e-2x - x e-2x                   
            Paso 3.            
                   Despejar G´(x) e integrar el resultado con respecto a "x" (usar método de integracion por partes)
                        G´(x) = x2 e-2x - x e-2x
                    Cambios de variables sugeridos para cada una de las integrales:                          x2 = u                                x = u
                       2xdx = du                            dx = du
                        [pic]                              [pic]
                                [pic]
                    Sustituir G(x) en el paso "2" y simplificar
                        Solución general:
                                 [pic]
                       Equivalente a:
                                   x2 + y2 = c e2x
Ejercicio 2.
                ydx - xdy + ln x dx = 0
                Rescribir la ecuación y probar el criterio de exactitud
                     (y + lnx) dx - xdy = 0
                        [pic]
               Paso 1.
                        Buscar un factor integrante                      [pic]
                     Multiplicar la ecuación por el factor integrante y probar de nuevo el criterio de exactitud.               [pic]            [pic]
               Paso 2.            
                         Integrar "N" con respecto a "y"        [pic]
                         Derivar el resultado con respecto a "x" e igualar a "M"
                               [pic]
               Paso 3.
                        Despejar G´(x) e integrar el resultado con respecto a "x" (usar método de integración por partes)
                               [pic]
                          cambio de variable sugerido
                                lnx = u
                                [pic]
                                ∫x-2 dx = v   ≈   [pic]   
                         por lo tanto                                [pic]
                         Sustituir el resultado en el paso "2"
                              Solución general:
                                   [pic]
                              equivalente a:
                                   y + ln x + 1 = c x
Ejercicio 3.
            (3xy + y2) dx + (x2 + xy) dy =0
            Sujeta a la condicion inicial y(2) = 1
            probar el criterio de exactitud                    [pic]
            Paso 1.
                     Buscar un factor integrante
                          [pic]
                          FI = [pic]
                     Multiplicar la ecuación por el factor integrante y probar de nuevo el criterio de exactitud
                          (3x2 y + xy2) dx + (x3 + x2 y) dy = 0
                          [pic]
            Paso 2.                              Integrar "M" con respecto a "x"
                         [pic]
                    Derivar el resultado con respecto a "y" e igualar a "N"
                        x3 + x2 y + G´(y) = x3 + x2y
            Paso 3.
                     Despejar G´(y) e integrar el resultado con respecto a "y"
                           G´(y) = 0...