Ecuaciones Diferenciales

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

B1-T1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Tema 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
1. Ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación que relaciona una función desconocida de una variable con una o más funciones de sus derivadas:

Si la incógnita es una función de x, y = y(x), entonces tenemos lossiguientes ejemplos:

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta de la función desconocida (variable dependiente) que aparece en la ecuación. Las ecuaciones del ejemplo anterior son de primero y segundo orden, respectivamente. Una ecuación diferencial parcial es una ecuación que incluye derivadas parciales. Por ejemplo, la ecuación de calor,

2. Ecuacionesdiferenciales lineales. Se llama ecuación diferencial lineal de orden n a una ecuación de la forma,

Se caracteriza porque todos los coeficientes de las derivadas dependen de x y sólo puede aparecer un término en y. Por ejemplo, es lineal, pero no es lineal porque uno de los factores que multiplican a la y no es función de x. En general, dada una función h(x), se dice que es solución a una ecuacióndiferencial si sustituyo en la derivada y se verifica la igualdad. EJEMPLO 1. Dada la ecuación diferencial [1], comprobar que es solución explícita (la variable dependiente está despejada) la ecuación [2]: Se calcula la primera derivada de la función h(x) y se sustituye en la ecuación [1]: Se comprueba que es solución explícita de la ecuación diferencial. También se puede expresar la solución enforma implícita, es decir, sin despejar la variable dependiente. EJEMPLO 2. Dada la ecuación diferencia [3], comprobar que es solución implícita la ecuación [4]:

Se puede despejar la ecuación [4], derivar, y sustituir en [3]. Tomando la solución positiva de la ecuación [4], tenemos:

Se comprueba que es solución implícita de la ecuación diferencial EJEMPLO 3. Dada la ecuación diferencial [5],comprobar que solución implícita la ecuación [6]:

Se deriva dos veces la ecuación [6] de firma implícita:

Jesús Ayllón, 2008 Profesora: Manuela Coronado.

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Se despeja la segunda derivada en y:

Se despeja la primera derivada en y:

La ecuación diferencial [5] también puede escribirse:

Sisustituimos en la expresión anterior, la primera derivada, obtenemos la ecuación [7], es decir, se comprueba que es solución implícita:

3. Problema de valores iniciales. Dada una ecuación diferencial, se dice que es un problema de valores iniciales si existe una función Φ(x) que cumple tantas condiciones iniciales como parámetros tenga la solución final. a) b) EJEMPLO 4. Determinar para quévalores de la m la función [8] es solución de la ecuación diferencial [9]: Se calculan las derivadas de [8] y se sustituye en [9]

Dado que nunca se anula, se saca factor común y se buscan los valores que m que satisfacen la igualdad:

4. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación que se puede transformar a la siguiente forma: Unaecuación diferencial de grado uno se dice que es de variables separadas siempre que se pueda escribir como producto de las funciones con las variables separadas:

Por ejemplo, la ecuación diferencial separadas ya que puede escribirse 5. Teorema de unicidad. Partimos del problema de valor inicial

es una ecuación de variables .

. Dado

siempre existe un intervalo es el centro del intervaloy existe una función y(x) que es solución del problema de valores inicial si se cumple que f(x, y) es continua y es continua en I.

Jesús Ayllón, 2008 Profesora: Manuela Coronado.

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Por ejemplo, dado el siguiente problema de valor inicial,

se comprueba que, de acuerdo con el teorema de...