ECUACIONES DIFERENCIALES


Universidad Santa María
Núcleo Anzoátegui
Facultad de Contaduría
Semestre III
Matemática III


ECUACIONES
DIFERENCIALES




Profesor:
Lizmari Gil

Alumnos:
González A. Herlinis N.
C.I.: 14 432 508
Medina R. Reinaldo C.
C.I.: 22 851 236

ECUACIONES DIFERENCIALES.
 
       Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que establecen relaciones entrevariables independientes, dependientes y las derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y Parciales

Ordinarias
Resolver una E.D.O., consiste en aplicar un conjunto de técnicas que permitan obtener, a partir de una ecuación diferencial, una expresión matemática que no presente derivadas; sino que exhibauna relación entre las variables mencionadas. Existen muchos métodos para resolver E.D.O.
Ecuaciones con Variables Separables:
Son ecuaciones de la forma:



   Las cuales se puede resolver así:

Ø     Separar las variables. Esto significa que los términos relativos a la variable dependiente queden a un lado de la igualdad y en el otro los que representan a laotra variable. Por tanto:

Ø     Integrar ambos miembros de la igualdad aplicando los métodos de integración.

Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las más simples de resolver, al menos en teoría. Muchos problemas de la física, biología, economía, ingeniería, etc., conducen a problemas de valor inicial que involucran ecuaciones de primer orden.
Durantemuchos años los matemáticos se esforzaron por resolver tipos específicos de ecuaciones diferenciales. Debido a esto existen hoy en día muchas técnicas de solución
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden  que puede escribirse en la forma: 


Se llama ecuación diferencial en variables separadas.
 
Observación: una ecuación de la forma:

Puede transformarse en una ecuación en variablesseparadas al dividir por el factor  



y al integrar obtenemos la solución



Tenga presente que al dividir por el factor  puede perder soluciones que anulan este factor, las cuales pueden ser soluciones singulares.
 
Ejemplo 
Resuelva la ecuación diferencial ordinaria separada




Dividiendo por el factor  obtenemos




Y al integrar




Simplificando




Observe que el factor  es cerocuando  y con y al sustituirlas en la ecuación original se comprueba que son soluciones, pero se obtienen de la solución general tomando  y , respectivamente.
 
Ejemplo
 
La pendiente de una familia de curvas está dada por:




Encuentre el miembro de la familia que pasa por el punto .
Separando variables




Integrando




Simplificando




Evaluando en el punto  obtenemos que , con lo cual el miembro de lafamilia buscado es




La recta tangente a la curva  en el punto  se muestran en la figura 1.1.
 

 
Figura 1.1: Recta tangente a la curva.
 
Ejemplo
La ecuación diferencial ordinaria




no es separable, pero se convierte en separable al hacer el cambio de variable .
Al tratar de separar variables llegamos a la ecuación




la cual no es separable.
Por otro lado, al hacer el cambio devariable 




con lo que al sustituir en la ecuación diferencial obtenemos




y simplificando




la cual es separable. Al integrar llegamos a la solución




Volviendo a la variable original




La cual es la solución buscada.
 
Ecuaciones Homogéneas: Son ecuaciones de la forma:


 
Las cuales se puede resolver mediante el siguiente conjunto de pasos, que será llamado de aquíen adelante ALGORITMO HOMOGÉNEO
Ø     Aplicar el criterio de homogeneidad. Para ello basta con:
                 i.     Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente dedy con N(x,y). 
               ii.     Verificar si son homogéneas, aplicando las siguientes
igualdades:
1.   M(kx, ky)= knM(x,y)
2.   N(kx, ky)= knN(x,y)
Nota1: Para 1 y 2, los exponentes deben ser iguales  y...