Ecuaciones diferenciales

INDICE

* Ecuaciones en variables separadas
* Ecuaciones diferenciales homogéneas
* Ejercicios
* Ecuaciones diferenciales exactas
* Ejercicios
* Factor integrante
* Ejercicios
* Ecuación lineal de primer orden
* Ejercicios
* Ecuación de Bernoulli
* Ejercicios
* Reducción de orden
* Ausencia de la variable dependiente
*Ausencia de la variable independiente
* Ejercicios
 
* Ecuación de Clairaut
* Ejercicios

Ecuaciones en variables separadas
Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las más simples de resolver, al menos en teoría. Muchos problemas de la física, biología, economía, ingeniería, etc., conducen a problemas de valor inicial que involucran ecuaciones de primer orden.
Durantemuchos años los matemáticos se esforzaron por resolver tipos específicos de ecuaciones diferenciales. Debido a esto existen hoy en día muchas técnicas de solución, algunas de las cuales estudiaremos.
 
  |  Definición [Ecuación diferencial separable] |
  | Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que puede escribirse en la forma:
se llama ecuación diferencial en variablesseparadas.   |
Observación: una ecuación de la forma:

puede transformarse en una ecuación en variables separadas al dividir por el factor

y al integrar obtenemos la solución

Tenga presente que al dividir por el factor puede perder soluciones que anulan este factor, las cuales pueden ser soluciones singulares.
 
Ejemplo
Resuelva la ecuación diferencial ordinaria

Dividiendo por elfactor obtenemos

Y al integrar

Simplificando

Observe que el factor es cero cuando y con y al sustituirlas en la ecuación original se comprueba que son soluciones, pero se obtienen de la solución general tomando y , respectivamente.
 

Ejemplo
 
La pendiente de una familia de curvas está dada por:

Encuentre el miembro de la familia que pasa por el punto .
Separandovariables

Integrando

Simplificando

Evaluando en el punto obtenemos que , con lo cual el miembro de la familia buscado es

La recta tangente a la curva en el punto se muestran en la figura 1.1.
 

  |
Figura 1.1: Recta tangente a la curva . |
 
Ejemplo
La ecuación diferencial ordinaria

no es separable, pero se convierte en separable al hacer el cambio de variable .
Altratar de separar variables llegamos a la ecuación

la cual no es separable.
Por otro lado, al hacer el cambio de variable

con lo que al sustituir en la ecuación diferencial obtenemos

y simplificando

la cual es separable. Al integrar llegamos a la solución

Volviendo a la variable original

la cual es la solución buscada.
 
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Existenalgunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior.
Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.
 
  |  Definición  [Funciones homogéneas] |
  | Una función se dice homogénea de grado si
para todo y todo . |
 
Ejemplo1. La función es homogéénea de grado .
2. Las funciones , , son homogéneas de grado 0.
3. Las funciones , , son homogéneas de grado 2.
Ahora definimos lo que es una ecuación diferencial homogénea.
 
  |  Definición [Ecuación diferencial homogénea] |
  |  Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, , es homogénea si la función es homogénea de orden cero. |
 Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma

sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes y son funciones homogéneos del mismo grado.
 
  |  Teorema |
  | Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden es homogénea, entonces el cambio de variable la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.   |
 
Demostración:
Al hacer la sustitución obtenemos...