ECUACIONES DIFERENCIALESPERIODICO TERMINADO

ECUACIONES DIFERENCIALES


Transformada
de “Laplace”
Conceptos: Transformada De Laplace
Definición: Una función u(t) definida en
0 ≤ t < ∞ tiene transformada de Laplace si
existe un real a > 0 tal que la integral converge
para s > a. En este caso, la transformada de Laplace de la
función u es la función û definida en el intervalo a < s < ∞
cuyo valor en cada s está dado porû(s)=

A veces conviene denotar la transformada de Laplace û de u
mediante L{u}. Recuérdese que la integral impropia converge si la integral finita existe
para todo B > 0 y si existe y es finito.
Entonces, por definición

EJEMPLOS.

(Función constante). La función constante u(t) = 1 tiene
transformada de Laplace û(s)= definida en0 < s < ∞.
En efecto, û(s)=,
para 0 < s < ∞. Se observa que laintegral diverge
para s ≤ 0. (Función exponencial). La función u(t)= tiene
Transformada de Laplace û(s)= definida en a < s < ∞. En
Este caso, û(s)= para s > a.
(Función tn, n > 0 entero). La función u(t) = tn (n > 0 entero)
tiene transformada de Laplace û(s) = definida en 0 < s < ∞.
Primero, para n = 1, integrando por partes obtenemos
L{t} =
para 0 < s < ∞.


Para n > 1, la integración por partesda
L{tn} =

Gottfried Wilhelm Leibniz












El nacimiento de la ciencia de ecuaciones diferenciales se fijaría en el 11 de noviembre de 1675, cuando Leibnitz asentó en un papel la ecuación Integral de y diferencial de y igual a la mitad del cuadrado de y.



Y aplicando esto repetidamente, obtenemos L{tn}=
Para 0 < s < ∞.


(Funciones seno y coseno). Se tiene
L{cos at} =, L{sen at} =para 0 < s < ∞,
donde a ≠ 0.
Integrando por partes obtenemos
L{cos at} = .
Y volviendo a integrar por partes, L{sen a t} =

Luego
De aquí se obtiene la expresión para L{sen a t}
y se obtiene la expresión para {cos a t}.
(Función de Heaviside). La función escalón de
Heaviside o salto unitario es la función H defi-
nida para todo t, -∞ < t < ∞, por



La función salto unitario en a es latranslación
H(t – a) de H:
H(t – a) =
Para a > 0 y 0 < s < ∞, se tiene


En general

Es decir,

Para a > 0, 0 < s < ∞.(una función sin transfor-
mada de Laplace). La función u(t) = no tiene
transformada de Laplace. Pues la integral

diverge para todo s.








TRANSFORMADA INVERSA
Una propiedad fundamental de la transformada de Laplace es:
(Propiedad de inversión). Sean u1(t) yu2(t) funciones continuas por tramos de orden exponencial en 0 ≤ t < ∞. Si L{u1}(s) = L{u2}(s) en un intervalo a < s <∞, entonces en cada intervalo finito [0,B] se tiene
u1(t)=u2(t),
salvo a lo más en un número finito de puntos. La demostración de este resultado requiere técnicas de análisis que no están al alcance de este curso. (Ver: R.V. Churchill. Operation Mathematics., McGRaw-Hill, New York,1972.)
La propiedad de inversión implica que cada una función v(s) definida en un intervalo a < s < ∞, si existe una función u(t) definida en 0 ≤t < ∞ tal que L{u}=v,
entonces la función u es esencialmente única. Esto significa que si u1 es otra función tal que L{u1}=v, entonces en cada intervalo [0, B] las funciones u y u1 coinciden, con la posible excepción de un numero finito de puntos.
Porejemplo, es fácil verificar que, para a > 0, las funciones
H(t-a)= H1(t)=
H2(t)=
Son tres funciones diferentes esencialmente iguales en 0 ≤ t < ∞ tales que L{H(t - a)} = L{H1} = L{H2]=.
En lo que sigue no distinguiremos entre funciones que sean esencialmente iguales. Definición. Una función v(s) definida en un intervalo a < s < ∞ tiene transformada inversa de Laplace si existe una función u(t)definida en 0 ≤ t < ∞ tal que L{u} = v, En este caso se dice que u es la transformada inversa de Laplace de v y se denota por L-1{v}. Recordamos que por la propiedad de anulación de las transformadas de Laplace en ∞, una condición necesaria para que una función v(s) posea transformada inversa de Laplace es que
También, las propiedades básicas de la transformada de Laplace implican propiedades de la...