ecuaciones lineales

1.7 - METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS
Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen idénticas soluciones, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones dadas; también se le llama sistema de ecuaciones simultáneas.
METODOS DE SOLUCION PARA SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADOCON DOS INCOGNITAS.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, significa determinar los valores de las incógnitas que generalmente son “x” o “y” que satisfacen a cada ecuación del sistema.
El proceso consiste en eliminar una de las dos incógnitas, dando lugar a una ecuación lineal con una incógnita; una vez determinado el valor de una de las incógnitas, se sustituye encualquiera de las ecuaciones del sistema, obteniéndose el valor de la otra incógnita.
Los principales métodos de solución para este sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, son:
1. METODO DE ADICION O SUSTRACCION (REDUCCION).
El método de suma o resta consiste en modificar las ecuaciones del sistema dado, de tal manera que se igualen en valor absoluto los coeficientes de una de lasincógnitas y tenga signos contrarios, por lo que al sumarse algebraicamente las ecuaciones se eliminan una de las incógnitas dando lugar a una ecuación lineal con una incógnita que es fácil de resolver.

Los siguientes pasos nos facilitan la aplicación del método










EJEMPLO:

Multipliquemos los miembros de la ecuación 1 por 5 y los de la ecuación 2 por (-4); para lograr que loscoeficientes de “x” sean de igual valor y signo contrario.
20x + 30y = -15
-20x – 28y = 8
Sumando algebraicamente ambas ecuaciones, resulta:


Sustituyendo el valor de “y” encontrado, en cualquiera de las funciones originales, se obtiene:

Para comprobar los resultados, sustituimos los valores obtenidos en cada una de las ecuaciones originales.

Como se puedeobservar los valores que satisfacen a ambas ecuaciones son x = 9/2, y = -7/2, por lo tanto el conjunto solución es:

2. METODO DE IGUALACION
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación, se aplican los pasos siguientes:








EJEMPLO:
1.- Resolver el sistema

Despejando “y” en ambas ecuaciones, tenemos:

Igualando entre si ambas expresiones, seobtiene:

Resolviendo la ecuación resulta:

Este valor de x obtenido, se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones originales, o bien, en cualquier ecuación en la cual se encuentre despejada “y”

Para verificar los resultados obtenidos, se sustituyen estos, en ambas ecuaciones

Como se puede observar los valores que satisfacen a ambas ecuaciones son x = 4/3, y = -9, por lo tanto elconjunto solución es:
Evidentemente, todas las aclaraciones hechas en la sección anterior sobre la elección de la incógnita que queremos despejar, así como sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.

3. METODO DE SUSTITUCION.
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución, seaplica el siguiente procedimiento:


Método de sustitución



EJEMPLO:
1.- Resolver el sistema

Se despeja de la ecuación 1 “y” en términos de “x”:

Se sustituye este valor en la segunda ecuación, dando lugar a una ecuación con una incógnita:

Sustituyendo el valor de x = 1 en cualquiera de las ecuaciones originales o en la ecuación donde se encuentra “y” despejada seobtiene:

Para verificar los resultados obtenidos, se sustituyen estos, en las ecuaciones originales

Los valores que satisfacen al sistema son: x = 1 y y = ½
Como se puede observar los valores que satisfacen a ambas ecuaciones son x = 1, y = 1/2, por lo tanto el conjunto solución es:
4. SOLUCION POR DETERMINANTES

Los determinantes se emplean para resolver sistemas de ecuaciones...