Ecuaciones Parametricas

GEOMETRÍA ANALÍTICA

ECUACIONES PARAMÉTRICAS
CONTENIDO
1.

De la elipse

2.

De la circunferencia

3.

De la parábola

4.

De la hipérbola

5.

Ejercicios

6.

Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas

Hemos visto, que si un lugar geométrico tiene una representación analítica, la cual es una
sola ecuación que contiene dos variables. Ahora veremosla representación analítica de una curva
utilizando dos ecuaciones, que se llaman ecuaciones paramétricas de la curva.
Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una
separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable. Según esto,
designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica, estas
ecuaciones serepresentan en la siguiente forma general:

x = F (z)
y = F (z)
Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola
curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos, como se puede ver en el siguiente
ejemplo:

1.

De la elipse

EJEMPLO.

Un segmento de recta de
10 cm de longitud se
mueve apoyando sus
extremos en los ejes decoordenadas. Determinar
lugar
geométrico
el
descrito por un punto P(x,
y) situado sobre el
segmento A B a 4 cm del
extremo que se apoya
sobre el eje de las x, como
se muestra en la figura
adjunta:
10. ECUACIONES PARAMÉTRICAS

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO

EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

10-1

GEOMETRÍA ANALÍTICA

SOLUCIÓN
Observando lafigura anterior se tienen las funciones trigonométricas:

cos φ =

x
6

y sen φ =

y
4

Por tanto despejando:

x = 6 cos φ
y = 4 sen φ
Estas son las ecuaciones paramétricas del lugar geométrico descrito, pero necesitamos
transformarlas para que podamos identificar, e incluso, para que podamos darnos cuenta
de que las dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva.Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores:
2

x
= cos2 φ
36
2
y
= sen2 φ
16
Sumando miembro a miembro:
2

2
y
x
+
= sen2 φ + cos2 φ
36 16

Pero se sabe que: sen2 φ + cos2 φ = 1
Sustituyendo tenemos:
2

2
y
x
+
=1
36 16

Por el resultado obtenido, vemos que el lugar geométrico descrito por P es una elipse
horizontal, con centro en el origen, cuyossemiejes miden 6 y 4.
Este problema nos hace ver que toda elipse como la que acabamos de ver con semiejes a
y b, esta representada por las siguientes ecuaciones paramétricas:
x = a cos φ ......................................................................................................................... I
y = b sen φ......................................................................................................................... I’

Si la elipse es vertical con centro en el origen, sus ecuaciones paramétricas son:

x = b cos φ ......................................................................................................................... II
y = a sen φ........................................................................................................................ II’

10. ECUACIONES PARAMÉTRICAS
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO

EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

10-2

GEOMETRÍA ANALÍTICA

2.

De la circunferencia:

Para el caso de una circunferencia de
radio a y parámetro ϕ, también con centro en el
origen. Si P(x, y) es un punto cualquiera de la
curva, las ecuaciones paramétricas deacuerdo
a la figura adjunta son:
Considerando a P un punto cualquiera
de la curva y a como el radio de la
circunferencia.
De la figura se tiene:

sen φ =
cos φ =

y
a
x
a

Despejando tendremos las ecuaciones paramétricas:
y = a sen φ ....................................................................................................................... III
x = a cos φ...