Ecuaciones

Ejercicios 2.2 Variables separables.

1. dydx=sen 5x
Solucion:
dydx=sen 5x↔dy=sen 5x dx Separando variables.
→ dy=sen 5x dx Aplicando la integral en ambos miembros.
∴ y=-15 cos5x +c Integrando.

2. dydx=(x +1)²
Solución:
dydx=x+12↔dy=(x+1)²dx Separando variables.
→ dy=(x+1)² dx Aplicando la integral en ambos miembros.
∴ y=13(x+1)² +c Integrando.

3. dx+e³˟ dy=0
Solución:
dx+e³˟ dy=0↔e³˟ dy=- dx↔dy=-eˉ³˟ dx Separando variables.
→ dy=-eˉ³˟ dx Aplicando la integral en ambos miembros.
→ y=-(-13 eˉ³˟+c1) Integrando.
∴ y=13 eˉ³˟+c (c = -c1)

4. dx- x2dy=0
Solución:
dx-x2dy=0↔x2dy= dx↔dy=xˉ² dx Separando variables.
→ dy=xˉ² dxAplicando la integral en ambos miembros.
∴ y=-x ˉ'+c=-1x +c Integrando.

5. x +1dydx=x+6
Solución:
x +1dydx=x +6↔dy=x+6x +1dx Separando variables.
→ dy=x+6x +1dx Aplicando la integral en ambos miembros.
→ dy=x+1+5x +1dx= x+1x +1 +5x +1dx= (1 +5x +1)dx Separando fracciones
∴ y=x+5In |x+1| +c Integrando.

6. e˟ dydx=2x
Solución:e˟ dydx=2x↔dy=2xeˉ˟ dx Separando variables.
→ dy=2xeˉ˟ dx Aplicando la integral en ambos miembros.
∴ y=-2xeˉ˟-2eˉ˟ +c Integrando.

7. xy'=4y
Solución:
xy'=4y↔xdydx=4y ↔y ˉ'dy=4xˉ' dx Separando variables.
→ yˉ'dy=4xˉ' dx Aplicando la integral en ambos miembros.
→ In y = 4 In x + 4 In c₁ Integrando.
→ In y = 4 (In x+ In c₁) ↔ In y = 4 In c₁x ↔ In y = In (c₁x)⁴ ↔ y = (c₁⁴x⁴)
∴ y=cx⁴

8. dydx+2xy=0
Solución:
dydx+2xy=0 ↔dydx=-2xy ↔yˉ'dy=-2xdx Separando variables.
→ yˉ'dy=-2x dx Aplicando la integral en ambos miembros.
→ In y=-x²+c₁ Intregando
→ y=eˉ˟²ᶡͨ ͨ'↔ y=e'eˉ˟²
∴ y=ceˉ˟² (c = eͨ′)

9. dydx= y³x²
Solución:
dydx= y³x²↔yˉ³dy=xˉ² dx Separando variables.
→ yˉ³dy=xˉ² dx Aplicando la integral en ambos miembros.
→ -12=-xˉ'+c₁ Intregando
→ yˉ²=2xˉ'-2c₁
∴ yˉ²=2xˉ'+c (c=-2c1)

10. dydx= y+1x
Solución:
dydx= y+1x↔1y +1dy=1xdx Separando variables.
→ 1y+1dy=1x dx Aplicando la integral en ambos miembros.
→ In y+1=In x+In |c| Integrando.
→In y+1=In cx↔y+1=cx
∴ y=cx-1

11. dydx= x²y²1+x
Solución:
dydx= x²y²1+x ↔1+xx²dx =y²dy↔y²dy=1+xx² dx Separando variables.
→ y²dy=1+xx² dx Aplicando la integral en ambos miembros.
→ y²dy=(xˉ2+xˉ')dx
→ 13y³=-xˉ'+Inx +c₁ Intregando
∴ y³=-3xˉ'+3Inx+c

12. dydx= 1+2y²ysenx
Solución:
dydx= 1+2y²ysenx↔senx dx =1+2y²ydy↔(yˉ'+2y)dy=senx dx Separando variables.
→ (yˉ'+2y)dy=senx dx Aplicando la integral en ambos miembros.
∴ In y +y²=-cosx+c Integrando.

13. dydx=e³˟˖²ʸ
Solución:
dydx=e³˟˖²ʸ ↔dydx=e³˟e²ʸ↔eˉ²ʸ dy=e³˟dx Separando variables.
→ eˉ²ʸ dy=e³˟ dx Aplicando la integral en ambos miembros.
→ -12eˉ2=13e3˟+c1↔-3eˉ²ʸ=2e³˟+6c₁ Integrando∴ -3eˉ²ʸ=2e³˟+c

14. e˟ydydx=eˉʸ+eˉ²˟ˉʸ
Solución:
e˟ydydx=eˉʸ+eˉ²˟ˉʸ↔e˟y dydx=eˉʸ1+eˉ2˟↔yeʸdy=eˉ˟1+eˉ2˟dx ↔yeʸdy=eˉ˟+eˉ3˟dx Separando variables.
→ yeʸdy=(eˉ˟+eˉ3˟) dx Aplicando la integral en ambos miembros.
→yeʸ-eʸ=-eˉ˟-13eˉ3˟-c Integrando
∴ eʸ-yeʸ=eˉ˟+13eˉ3˟+c

15. 4y+yx2dy-(2x+xy²)dx=0
Solución:
4y+yx2dy-2x+xy2dx=0↔y4+x2dy=x(2+y²)dx
↔ y2+y²dy=x4+x²dx Separando variables.
→ y2+y²dy=x4+x²dx Aplicando la integral en ambos miembros
→ 122ydy2+y²= 122xd4+x² Transformando adecuadamente.
→...