Ecuasiones diferenciales

PROBLEMA 1
g) 3x+ 3etx2/3+tx'=0
tx'+3x=-3etx23
x'+3tx=-3etx23t
x2/3x'+3tx33.x-23=-3ettx23.x-23
x-23x'+3tx13=-3ett
Zt=x1313=3x13
z't=x-23x'
zt=e-1tdt[-3ette1tdtdt+C]
zt=e-lnt[-3ettelntdt+C]
zt=1t[-3etdt+C]
zt=1t[-3et+C]
3x13t=1t[-3et+C]
Rpta. xt=(13t)3[-3et+C]3

h) x'=1x+t
dxdt=1x+t
x+tdx=dt
x+tdx+-1dt=0
x+t=z
dx+dt=dz
zdz-dt+-1dt=0
zdz-zdt-dt=0
zdz+-dtz+1=0z+1dt=zdz
dt=zz+1dz
dt-zz+1dz=C
si:z+1=a
t-a-1ada-1=C
t-(da-daa)=C
t-a+lna=C
t-z+1-lnz+1=C
Rpta. t-x+t+1-lnx+t+1=C

PROBLEMA 2
Sea T(t) la temperatura interior de un edificio para el que la razón de cambio de temperatura es la diferencia entre la razón a la que aumenta y la razón a la que disminuye. Suponemos que afectan tres factores en la temperatura. El primero (calorproducido por las personas, luces y maquinas) incrementa la temperatura a razón de H(t). El segundo es el calentamiento (enfriamiento) producido por la calefacción (aire condicionado) a razón de U(t). El tercer factor es el efecto de la temperatura exterior M(t) para el que la razón de cambio es proporcional a la diferencia entre la temperatura exterior y la interior (ley de Newton delenfriamiento). Recogiendo todo, la ecuación diferencial que modela el fenómeno es
dTdt=kMt-Tt+ Ht+ Ut,
Con k constante real depende de las propiedades del edificio (numero de puertas y ventanas, aislamiento, material, etc.); al valor 1/k se le llama constante de tiempo del edificio. Resuelve la ecuación diferencial para calcular la temperatura en función del tiempo.
i) Si la temperatura exterior esconstante M=0 se cumple H=U=0, escribe la solución sabiendo que Tt0=T0 (esto refleja como varia la temperatura del edificio).
ii) Supongamos que H es constante H0 , U=0(no hay calefacción o enfriamiento) y la temperatura exterior está dada por Mt=M0-Bcosωt , donde B es una constante real positiva y ω=π/12 (onda senoidal de periodo 24 horas, como mínimo en t=0 (medianoche) y máximo en t=12(mediodía)). Calcula la solución sabiendo que a media noche la temperatura .

UT=ku(Td-T(t)) , calcula Tt siendo de nuevo T0=T0 (esto refleja como varia la temperatura en verano(aire acondicionado) y en invierno (calefacción)).

SOLUCIÓN:
Tenemos la ecuación:
dT(t)dt=kMt-Tt+ Ht+ Ut …(j)
Dándole forma nos damos cuenta que es una ecuación lineal en su forma canónica:
dTtdt+kTt=kMt+Ht+Ut… (i)
Un factor de integración para (i) esta dado por: It=ek dt=ekt

Procedemos a multiplicar el factor de integración por la ecuación (i):

ektdTtdt+ektkTt=ekt[kMt+Ht+Ut] Ó
d(Ttekt)dx=ekt[kMt+Ht+Ut]
Integrando y despejando:
Ttekt=ekt[kMt+Ht+Ut]+C
Tt=e-ktekt[kMt+Ht+Ut]dt+C … (ii)
i) Reemplazando M=0 y H=U=0 en (ii)

Tt=e-ktekt[0]dt+C=e-ktC …(iii)
Ahora Tt0=T0.
T0=e-kt0C
De la cual obtenemos que C=T0ekt0
Reemplazando en (iii) obtenemos la variación de temperatura del edificio:

Tt=T0e-k(t-t0)

ii) Para Mt=M0-cosωt; U=0 y H=H0 reemplazamos en (ii)
Tt=e-ktekt[k(M0-cosωt)+H0]dt+C
Tt=e-ktektkM0+H0-ektcosωt dt+C
Integramos por partes y operamos:
Tt=M0+k-1H0-Bcosωt+ωksinωt1+(ω/k)2+Ce-kt ….(iv)
Ahora para Tt=T0a medianoche t=0 obtenemos que:
T0=M0+k-1H0-B11+(ω/k)2+C
C=T0-M0-k-1H0+B11+(ω/k)2

Reemplazando C obtenemos en (iv):

Tt=M0+k-1H0-Bcosωt+ωksinωt1+(ω/k)2+T0-M0-k-1H0+B11+(ω/k)2e-kt
Obtenemos:
Tt=1-e-ktM0+k-1H0+B1-cosωt-ωksinωt1+(ω/k)2e-kt

Reemplazamos UT=kuTd-Tt ; y H=H0. En (j).

dTtdt=kMt-Tt+ H0+ kuTd-Tt
Luego, damos forma canónica de una ecuación lineal (reemplazamosMt=M0-cosωt
dT(t)dt+k+kuTt=k(M0-cosωt)+H0+kuTd
Procedemos con la integración y operación obteniendo la solución:
Tt=kuTd+KM0+H0k+ku-Bkk+kucosωt+ωk+kusinωt1+(ωk+ku)2+Ce-kt
Con T0=T0. Obtenemos el valor de C

C=T0-kuTd+KM0+H0k+ku+Bkk+ku11+(ωk+ku)2

La solución general es:

Tt=kuTd+KM0+H0k+ku-Bkk+kucosωt+ωk+kusinωt1+ωk+ku2+T0-kuTd+KM0+H0k+ku+Bkk+ku11+ωk+ku2e-kt

2.- Resuelva los siguientes...