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Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales.
Ejemplo 16:  es un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas
Resolver un sistema es encontrar la solución (o soluciones) común a todas ellas, o concluir que el sistema no tiene solución.
Hay tres métodos para resolverlos:
      Sustitución
Ejemplo 17. 
En la 2ª ecuacióndespejamos la y y la sustituimos en 1ª ecuación
y =3x;          2x +3(3x) =1        11x =1
 x =1/11   
Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas se sustituye (y =3x) para encontrar el valor de la otra incógnita:      
                   y =3/11
 
Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de, al menos, una de las incógnitas es 1.
      Igualación
Ejemplo 18. Resuelve elsistema:       
                                                
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones; y =3x.
Igualando       1-2x =9x        1= 11x  x =1/11
Ahora para obtener el valor de la y se procede como en el caso anterior, es decir se sustituye el valor hallado en la ecuación que más convenga
En este caso en y =3x, nos queda  y =3/11
Observación. Este método es muyadecuado cuando el coeficiente de una de las incógnitas es igual en las dos ecuaciones.
      Reducción
Ejemplo 19. 
Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y la 2ª por 3. (De esta forma el coeficiente de y en las dos ecuaciones es el mismo, el m.c.m.
Resulta:                          
Sumando obtenemos        13 x =2                       
Sustituyendo el valor encontrado de x en la segunda ecuación:
   y=3/13
Observación. Este método es muy adecuado en todos los casos.
Nota. A veces es más cómodo usar la reducción dos veces para encontrar el valor de la otra incógnita. (Ver ejercicio resuelto)
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas por el método que creas más adecuado:
1) 
 
2) 
 
 
3) 
 
4)
 
5) 
 
6) 
 
7)
Solución
 Para quitar los denominadores multiplicamos por 4 la 1ª ecuación 
Leresolvemos por reducción doble.
 Multiplicamos la 2ª ecuación por –2 
Sumando las dos ecuaciones obtenemos una equivalente: -3y = -12y =4
Para encontrar el valor de x, eliminamos la y, para ello multiplicando la 1ª por -2
sumando –3x= -12  x =4
8) 
 
Problemas de aplicación
1) Calcula dos número cuya suma sea 8 y su producto 12.
 
2) La suma de dos número es 65 y su diferencia 23. Halla losnúmeros
 
3) La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble del menor es 1. Halla dichos números.
 
Sistemas de ecuaciones de 2º grado
Son aquellos en que al menos una de las ecuaciones es de 2º grado. Veremos con un ejemplo como proceder para obtener las soluciones
Ejemplo 20. Sea el sistema 
En la 2ª ecuación despejamos la y, y la sustituimos en la 1ª
y = 2x-4    2x2+(2x–4)2=22
2x2 +4x2 –16x +16=22;   6x2-16x-6=0,
Simplificando por 2 obtenemos:3x2-8x-3=0, que es una ecuación de 2º grado completa:
=
 
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas:
1) 
2) 
3)
 
 
Para resolver un problema es conveniente realizar cuatro fases[1]:
1ª. Comprender el problema.
Hay que leer el problema hasta familiarizarse con él y que podamos contestar, sin dudar, a las siguientes preguntas:¿Cuáles son los datos? ¿cuál es la incógnita o incógnitas? ¿son las condiciones suficientes para determinar a las incógnitas? ¿son  insuficientes?.. .
 
2ª Concebir un plan.
Determinar la relación entre los datos y la incógnitas.
De no encontrarse una relación inmediata puedes considerar problemas auxiliares.
¿Conoces problemas relacionados con éste?
¿Podrías plantear el problema de forma diferente?¿Puedes cambiar la incógnita o los datos o ambos si fuera necesario, de tal forma que la nueva incógnita y datos estén en una relación más sencilla?...
¿Has considerado todas las nociones esenciales del problema?
.................
Obtener finalmente un plan de solución.
Para nuestro caso:
Escribir la ecuación o ecuaciones que relacionan datos e incógnitas y analizar el sistema que forman.
 ...