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Hoja de ejercicios Tema 3 - MATEMÁTICAS- ADE. Rosa Marta García Fernández

Hoja de ejercicios Tema 3 (Propiedades y aplicaciones de las funciones derivables)
1. Usando el teorema de Rolledemostrar que la ecuación 3x4 − 24x + 1 = 0 no tiene más de dos raíces reales distintas. 2. Demostrar que la ecuación 3x5 + 15x − 8 = 0, no puede tener más de una raíz real. 3. ¿Para qué valores de a, m y bla función  x=0  3 2 −x + 3x + a 0 < x < 1 f (x) =  mx + b 1≤x≤2 satisface el Teorema del Valor Medio de Lagrange? 4. Mediante aplicación de los Teoremas de Valor Medio demostrar las desigualdades:(a) |cos x − cos y| ≤ |x − y| (b) |tan x − tan y| ≥ |x − y| (x e y en el mismo período) 5. Calcular: lim
x→0

L(1 + sen x) − L(1 + x) x − tg x

1

6. Desarrollar por MacLaurin la función f (x)= (1 + x)x ,hasta los términos de orden 3. 7. Calcular: lim
x→0

(2 − x2) sen x − 2x cos x x3

8. Obtener el desarrollo de ecos x , hasta potencias de orden 6. 9. ¿Se puede aplicar la regla deL’Hopital al cálculo del lim x→∞ ta.¿Cuál es, si existe, dicho limite?.
x+sen x ?. x+cos x

Razona la respues-

10. Calcular lim
x→0

L (1 + x2 ) cos 3x − e−x

1

Utilizar desarrollos hasta elorden 3

1

Hoja de ejercicios Tema 3 - MATEMÁTICAS- ADE. Rosa Marta García Fernández

√ 11. Calcular el valor aproximado de 5 33 , a través de la fórmula de Taylor (resto de grado 4), dandouna acotación del error.

12. Calcular lim
x→0

ex − esen x x3

13. Intentar aplicar la regla de L’Hopital para calcular √ 2 + x2 lim x→∞ x

14. ¿Se puede aplicar la regla de L’Hopital alcálculo del lim x→∞ ta.¿Cuál es, si existe, dicho limite?.

x+sen x ?. x+cos x

Razona la respues-

15. Calcular el límite lim
x +∞

(1 + x)(1+ 1+x ) − x(1+ x )

1

1

16. Mediantedesarrollos de Taylor calcular el límite lim
x→0

2(1 − cos x) − x sen x x3

17. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo equilátero de lado a. 18. Dada la...