Ejemplo de matrices y determinantes

Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Ejemplo: Resuelve el sistema:

Solución: Comenzamos con la matriz aumentada y luego obtenemos una forma escalonada, según se describe en las guías.

R1

R4

R2

R3

(1)R1 + R3

R3

(-2)R1 + R4

R4

(-1)R2

R2

(-(1÷ 2))R2

R2

(-1)R2 + R3

R3

(-1)R2 + R4

R4

(3)R3 + R4

R4

Lamatriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de ecuaciones:

(-(1÷ 2))R4

R4

Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación vemos que w = -1; de la tercera ecuación vemos que z = -2 . Sustituimos en la segunda ecuación, y obtenemos: y - 2z - w = 6 y - 2(-2) - (-1) = 6 y+4+1=6 y=1 Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación: x +z + 2w = -3 x + (-2) + 2(-1) = -3 x - 2 - 2 = -3 x=1 Por lo tanto, el sistema tiene una solución: x = 1, y = 1, z = -2, w = -1.

Método de Gauss
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el método de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Sea el sistema, x + 2.y + z = 3 2.x + 5.y - z = -4 3.x - 2.y - z = 2 su matriz ampliada asociada es
x 1 2 3 y 2 5 -2z 1 -1 -1 3 -4 2

Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los términos independientes:

De este modo, el sistema tiene la solución única x = 2, y = -1, z = 3. La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss uotros, es una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas.

Ejercicio: resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices
Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices:

a)

x + y - 2.z + 4.t = 5 2.x + 2.y -3.z + t = 3 3.x + 3.y - 4.z - 2.t = 1

b)

x + y - 2.z + 3.t = 4 2.x + 3.y -3.z + t = 3 5.x + 7.y + 4.z + t = 5

a) Lamatriz M asociada al sistema de ecuaciones es:
x 1 M= 2 3 2 3 -3 -4 1 -2 3 1 0 0 2 -14 -14 ~ 0 0 1 -7 -7 y 1 z -2 t x 4 5 1 1 -2 4 5 y z t

La tercera fila se suprime, puesto que es múltiplo de la segunda y resultaría una fila nula. Así, el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incógnitas:

x 1 ~ 0 0

y 1 0 0

z -2 1 2

t 4 -7 -14 5 -7 -14

La solución del sistema escompatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones. x = -9 - y + 10 t z = 7 t - 7 ó (- 9 - y + 10 t, y, 7 t - 7, t). Dependiendo de qué valores se escojan para y y t, salen distintos resultados. Así, para y = t = 0 tendremos la solución del sistema x = -9, y = 0, z = -7, t = 0. b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:
x 1 M= 2 5 3 7 3 4 -1 1 6 5 0 2 14 -14 -15 ~ 0 1 7 -7 -5y 1 z -2 t x 3 4 1 1 -2 3 4 y z t

x 1 ~ 0 0

y 1 1 0

z -2 7 0

t 3 -7 0 4 -5 -5

No hay necesidad de continuar calculando nada más, puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI), es decir, que no tiene solución. Específicamente, la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuación 0 x + 0 y + 0 z + 0 t = -5 obteniendo como resultado 0 =-5, que es absurdo. Por lo tanto, decimos que no tiene solución

Discusión de los sistemas de ecuaciones lineales
A continuación, se estudiará la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solución y si tienen una única o infinitas soluciones. El estudio o discusión de los sistemas de ecuaciones se efectúa aplicando el teorema de RouchéFröbenius. Este dice quecon un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas: 1. Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (S.C.), esto es, que tenga solución. 2. Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (S.I.) o que no tenga solución. El primer caso puede dividirse en dos:

a) que sea un sistema compatible y determinado (S.C.D.), esto es, que tenga una única solución; b) que...