Ejemplos de aplicacion del teorema de bayes

Uso del Teorema de Bayes
Ejemplo
Sólo el 60% de los estudiantes de la clase de estadística del profesor Harmond pasaron la primera prueba. De quienes pasaron, el 80% estudiaron, el 20% de quienes no pasaron sí estudiaron. ¿Debería usted estudiar para las pruebas de ese profesor?
Solución:
Esto puede determinarse calculando la probabilidad de que usted pase la prueba, dado que usted estudió.De la información anterior:
Pp=0.60, Pps=0.80 y Psn=0.20.
Entonces
Pps=P(p∩s)P(s)= Pp*P(s|p)Pp*Psp+Pn*P(s|n)
=0.600.800.600.80+0.40(0.20)
=0.480.48+0.08
=0.857 >Pp= 0.60
En palabras, hay una probabilidad del 0.857 de que apruebe dado que usted estudio, i.e, Usted Si debería estudiar para las pruebas de dicho profesor.
Ejemplo
El gerente de marketing de una firma fabricante dejuguetes planea la introducción de un nuevo juguete al mercado. En el pasado, el 40% de los juguetes introducidos por esta firma han tenido éxito y el 60% no lo han tenido. Antes de lanzar el juguete al mercado, se lleva a cabo una investigación de mercados y se elabora un informe, favorable o desfavorable. En el pasado, el 80% de los juguetes con éxito recibieron informes favorables y el 30% de losjuguetes sin éxito también recibieron informes favorables. El gerente de marketing querría conocer la probabilidad de que el nuevo juguete tendrá éxito si recibe un informe favorable.
Solución
Con la utilización del Teorema de Bayes se puede resolver dicho problema del fabricante de juguetes, esto es de la siguiente forma:
Sean los eventos S, F, S´ y F´ donde
S= “Juguete con éxito”.
F=“Informe favorable”.
S´= “Juguete si éxito”.
Con los datos que nos han proporcionado podemos notar que
* PS=0.40
* PS´=0.60
* PF|S=0.80
* PFS´=0.30
Entonces
PSF= PF|S*PSPS*PFS+PS´*PFS´
=0.80(0.40)0.800.40+0.300.60
= 0.320.32+(0.18)
=0.64
Es decir, que la probabilidad de que un juguete tenga éxito, dado que recibió un informe favorable, es de 0.64. Por lo tanto, la probabilidad deque un juguete no tenga éxito puesto que recibió un informe favorable es de 0.36, por que solo hay dos eventos posibles esto es que
PS´F=1-PSF.
Ejemplo
Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la posible relación entre el fumador y el cáncer pulmonar. Supóngase que en una investigación para un artículo sobre el cáncer pulmonar en la revista “Rostros”, de todos los fumadores dequienes se sospecha que tenían cáncer pulmonar, el 90% lo tenían mientras que únicamente el 5% de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es de 0.45, ¿Cuál es la probabilidad de que una persona con cáncer pulmonar, seleccionado al azar para una entrevista, sea fumador?
Solución
Sean B1 y B2 los eventos “La persona es fumador” y “No fumador” respectivamente, y sea A el evento “Tienecáncer pulmonar”. Tenemos que las probabilidades para B1 y B2 son 0.45 y 0.55 respectivamente. También se sabe que PAB1= 0.90 y que PAB2= 0.05, se desea determinar la probabilidad a posteriori de seleccionar un fumador, puesto que la persona tiene cáncer es decir P(B1|A).
Nuevamente con el teorema de Bayes se tiene que
PB1A= PA|B1*PB1PB1*PAB1+PB2*PAB2
=0.45(0.90)0.450.09+0.550.05
=0.9364
∴La probabilidad de que una persona con cáncer pulmonar, seleccionada al azar para la entrevista sea fumadora es de 0.9364.
Ejemplo
Una compañía estudia la comercialización de un nuevo producto. El presidente de la compañía desea que el producto sea superior al de su más cercano competidor. Con base en una evaluación preliminar que realizo el personal clave, se decide asignar una posibilidad del50% de que el producto sea superior al ofrecido por su competidor, 30% de que tenga la misma calidad y un 30% de que sea inferior. Un estudio de mercado sobre el producto concluyente que éste es superior al del competidor. Con base a la experiencia sobre los resultados de las encuestas, se determina que si el producto realmente es superior, la probabilidad de que la encuesta alcance la misma...