ejercicio de monte carlo

Curso:
M´
etodos de Monte Carlo.
Unidad 1, Sesi´
on 2: Conceptos b´
asicos
Departamento de Investigaci´
on Operativa
Instituto de Computaci´
on, Facultad de Ingenier´ıa
Universidad de la Rep´
ublica, Montevideo, Uruguay
dictado semestre 1 - 2010

Contenido:
1. Repaso notaci´on elementos b´asicos de probabilidad.
2. Motivaci´on del M´etodo de Monte Carlo.
3. Ejemplos.
4. Ejercicios.
5. Lecturaadicional.

Curso “M´etodos de Monte Carlo” - Facultad de Ingenier´ıa, Universidad de la Rep´
ublica (Uruguay)

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Notaci´
on y repaso de elementos b´
asicos de probabilidad
• X variable aleatoria (discreta o continua).
• FX distribuci´
on de probabilidad de X, FX (x) = Prob (X ≤ x).
• Si X es continua, fX funci´
on de densidad de probabilidad de X (tal
x
que FX (x) = −∞ fX (t)dt).
• E (X)esperanza de X; muchas veces denotamos φ = E (X) el valor
que se desea calcular a trav´es del muestreo de X.
∞

– Si X es continua, E (X) = −∞ tfX (t)dt.
– Si X es discreta y toma valores en un conjunto C,
E (X) = x∈C xProb (X = x).
2

• Var (X) = E (X − E (X))2 = E X 2 − E (X) varianza de X;
2
muchas veces denotada σX
.
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2

• DE(X) =
σX .

Var (X) desviaci´
on est´andar de X, muchas veces denotada

• CV(X) = DE(X)/E (X) coeficiente de variaci´
on de X, es una medida
de la desviaci´on o dispersi´on de una distribuci´
on de probabilidad,
normalizada teniendo en cuenta el valor esperado.
• X = (X1, X2, · · · , Xm) vector aleatorio de dimensi´
on m (compuesto
por m variables aleatorias distintas,dependientes o independientes).
• X (1), X (2), · · · , X (n) - muestra de n variables aleatorias independientes
con la misma distribuci´
on de X.
• Notar la diferencia entre un vector aleatorio de variables distintas, y una
muestra de n variables equidistribuidas.

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Distribuciones b´
asicas
Serecuerda las siguientes distribuciones, que ser´
an empleadas en la
discusi´on subsiguiente y en algunos ejemplos y ejercicios.
• Distribuci´on uniforme entre a y b, U (a, b):
– p.d.f fU (x) = 0 si x < a o x > b; fU (x) = 1/(b − a) si a ≤ x ≤ b;
– FU (x) = 0 si x < a ; FU (x) = (x − a)/(b − a) si a ≤ x ≤ b,
FU (x) = 1 si x > b
• Distribuci´on exponencial de par´ametro λ > 0, E(λ):
– p.d.f fE (x) = 0 six < 0; fE (x) = λe−λx si x ≥ 0;
– FE (x) = 0 si x < 0 ; FE (x) = 1 − e−λx si x ≥ 0.
• Distribuci´on normal de par´ametros µ yσ > 0, N (µ, σ):
– p.d.f fN (x) =

−

√ 1
e
2πσ 2

(x−µ)2
2σ 2

.

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Esquema b´
asico de un M´
etodo Monte Carlo
Supongamos que deseo calcular un cierto valor φ, y conozcouna variable
aleatoria X con distribuci´
on FX tal que φ = E (X).
El m´etodo de Monte Carlo en su versi´
on m´as simple consiste en
1. sortear valores para un conjunto X (1), X (2), · · · , X (n), de variables
aleatorias i.i.d. (independientes e identicamente distribuidas) a X.
2. Calcular Sn = X (1) + . . . + X (n), la suma de los n valores sorteados.
3. Calcular X = Sn/n.
4. Calcular V =

n
(i)2
(X
) /(n(n
i=1

− 1)) − X 2/(n − 1) .

Se dice que X es un estimador de φ; discutiremos en las pr´
oximas
transparencias los argumentos que llevan a pensar que con alta
probabilidad sus valores son cercanos.
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Comentarios

• Por sortear entendemos generar aleatoriamente, siguiendo la
distribuci´on de probabilidad FX .
• El conjunto de valores sorteados para X (1), X (2), · · · , X (n) se llama
muestra, o equivalentemente conjunto de replicaciones de X.

• n es el tama˜
no de la muestra, tambi´en llamado n´
umero de
replicaciones.

• X es en s´ı misma una variable aleatoria, de esperanza igual a φ.
Resulta interesante estimar (si existe) la varianza de X. Formalmente,
2
si la varianza...