Ejercicios Analisis Matematico

Ejericios de Análisis Matemático
June 21, 2011

1.ESPACIOS MÉTRICOS
Empezaremos con la función distancia (d) que asocia a una distacia

x, y ∈ R.

d(x, y) =| x, y |

para cada par de puntos

Denición 1.1
Sea X un conjunto. Una distancia (o una métrica) en X es una función tres propiedades: (M1) (M2) (M3)

d : X × X → R que tiene las siguientes

d(x, y) = 0 si y solo si x = yd(x, y) = d(y, x) para todos x, y ∈ X d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) para todos x, y, z ∈ X X
con una métrica dada

Un espacio métrico es un conjunto

d.

Lo denotaremos por

(X, d),

o simplemente

por X cuando no sea necesario especicar cuál es la métrica que estamos considerando. El símbolo ordenados los

× denota el producto cartesiano de 2 conjuntos, A × B es el conjunto de todoslos pares (a, b), donde a ∈ A y b ∈ B . Por lo tanto X × X es el conjunto de todos los pares ordenados de elementos de X .

Proposición 1.2
d(x, y) ≥ 0
Demostración: para todos

x, y, z ∈ X

• • •

De (M1) tenemos si De (M3)

x = y ⇒ d(x, y) = 0.

d(x, x) ≤ d(x, y) + d(y, x). d(x, x) ≤ d(x, y) + d(y, x) = d(x, y) + d(x, y) = 2 d(x, y) ≥ 0.

Por (M2)

1

Ejemplo 1.3

Elconjunto

R

de los número reales con la distancia usual

{ s−t d(s, t) :=| s − t |= t−s
Demostración:

si s ≥ t si s ≤ t

es un espacio métrico.

• • •

(M1)

x = y ⇒ d(x, y) = 0 ⇒| s − t |=| t − t |= 0

Si s = t (M2)

d(x, y) = d(y, x)

| s − t |=| t − s |
(M3)

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

| s − t |=| s − y + y − t |≤| s − y | + | y − t |

Ejemplo 1.4

Rn con ladistancia (x1 , ..., xn ) , y = (y1 , ..., yn ) ∈ Rn , es espacio
El espacio euclidiano Demostración:

usual

d2 (x, y) :=

√

(x1 − y1 )2 + ... + (xn − yn )2 ,

donde

x =

métrico.

• • •

(M1)

Si x

x = y ⇒ d(x, y) = 0 √ √ = y ⇒ d2 (x, x) = (x1 − x1 )2 + ... + (xn − xn )2 = 0 + ... + 0 = 0

d(x, y) = d(y, x) √ √ d2 (x, y) = (x1 − y1 )2 + ... + (xn − yn )2 = (y1 − x1 )2 + ...+ (yn − xn )2 = d2 (y, x)
(M2) (M3)

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) √ √ d2 (x, z) = (x1 − z1 )2 + ... + (xn − zn )2 = (x1 − y1 + y1 − z1 )2 + ... + (xn − yn + yn − zn )2 ≤ √ √ ≤ (x1 − y1 )2 + ... + (xn − yn )2 + (y1 − z1 )2 + ... + (yn − zn )2 = d2 (x, y) + d2 (y, z)

Ejemplo 1.5

La función

d1 (x, y) :=| x1 − y1 | +...+ | xn − yn |, donde x = (x1 , ..., xn ) , y = (y1 , ..., yn ) ∈ Rn , esuna métrica

para el espacio euclidiano. Demostración:

• • •

(M1)

x = y ⇒ d(x, y) = 0 ⇒| x1 − x1 | +...+ | xn − xn |= 0

Si x = y (M2)

d(x, y) = d(y, x)

d1 (x, y) =| x1 − y1 | +...+ | xn − yn |=| y1 − x1 | +...+ | yn − xn |= d1 (y, x)
(M3)

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

d1 (x, z) =| x1 − z1 | +...+ | xn − zn |=| x1 − y1 + y1 − z1 | +...+ | xn − yn + yn − zn |≤ ≤| x1 − y1 |+ | y1 − z1 | +...+ | xn − yn | + | yn − zn |= =| x1 − y1 | + | xn − yn | +...+ | y1 − z1 | + | yn − zn |= d1 (x, y) + d1 (y, z)

2

Ejemplo 1.6

La función

d∞ (x, y) := m´x {| x1 − y1 | +...+ | xn − yn |}, a

donde

x = (x1 , ..., xn ) , y = (y1 , ..., yn ) ∈ Rn ,

es

una métrica para el espacio euclidiano. Demostración:

•

(M1)

x = y ⇒ d(x, y) = 0 ⇒ m´x {| x1 − x1 |+...+ | xn − xn |} = 0 a

Si x = y

•

(M2)

d(x, y) = d(y, x)

d∞ (x, y) = m´x {| x1 − y1 | +...+ | xn − yn |} = m´x {| y1 − x1 | +...+ | yn − xn |} = d∞ (y, x) a a •
(M3)

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ≤ m´x {| x1 − y1 | + | y1 − z1 | +...+ | xn − yn | + | yn − zn |} = a = m´x {| x1 − y1 | + | xn − yn | +...+ | y1 − z1 | + | yn − zn |} ≤ a ≤ m´x {| x1 − y1 | +...+ | xn − yn |}+m´x {| y1− z1 | +...+ | yn − zn |} = d∞ (x, y)+d∞ (y, z) a a

d∞ (x, z) = m´x {| x1 − z1 | +...+ | xn − zn |} = m´x {| x1 − y1 + y1 − z1 | +...+ | xn − yn + yn − zn |} ≤ a a

Ejemplo 1.7

Sea

ℓ∞

el conjunto de todas las sucesiones acotadas de números reales, es decir, de sucesiones

x = (xk )

para las cuales existe

R∈R

(que depende de x) tal que

| xk |< R

para todo

k ∈ N,...