Ejercicios de calculo

Unidad II: Recta y Circunferencia

PROBLEMAS PROPUESTOS: RECTAS EN EL PLANO

1. Dadas las siguientes rectas:
a) L1: pasa por (0,0), paralela a (2,2)
b) L2: pasa por (1,1), paralela a (1,1)
c) L3: pasa por (1,0) y (2,1)
d) L4: pasa por (2,3) y (4,5)
e) L5: pasa por (0,3) y paralela a (4,2)
f) L6: pasa por (2,4) paralela a (2,1)
g)L7: pasa por (0,2) paralela a (1,0)
h) L8: pasa por (2,2) y (4,2)
i) L8: pasa por (-1,2) paralela a (0,2)
j) L8: pasa por (-1,0) y (-1,5)
1. Determinar tres puntos sobre cada una rectas.
2. ¿El punto (8,8) se encuentra en L1; en L2; en L3?.
3. ¿El punto (-3,3) se encuentra en L5; L6; L7 ?
4. Demostrar que L1= L2; L5 = L6; L8 ≠L9; L1∩L2 = ø;L1∩L3 =[(½, ½)].
5. Dar una representación analítica donde sea posible de las 10 rectas en la forma [(x, mx + b)/x ∈ R].
6. Encontrar las ecuaciones perimétricas de L1= L2; L3 = L4 y L10
7. Encontrar la forma simétrica de las ecuaciones de las 10 rectas donde sea posible.
8. Encontrar las ecuaciones normales y generales de las 10 rectas.

1. Demuestre que[P0,P1] es el conjunto de todos los puntos P tales que |P – P0| + |P1 – P| = |P1 – P0|

2. Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta 8x + 15y -10 = 0 y que se encuentra a una distancia igual a 5 unidades de P =(2,3)
Rpta: L: 8x + 15y + 24 = 0 ; U: 8x + 15y – 146=0

3. Determinar los valores m y n para los cuales (m +2n +1)x + (2m – n + 1)y + 6m + 9 =0 es paralela al ejeY en (0, -3)
Rpta: m=7 ∧ n=-2

4. Desde el punto (2, -3) se traza una perpendicular a la recta 3x – 4y +6 = 0 ¿ A qué distancia se halla dicha perpendicular del punto (6,8)?

5. Si L1: -(4/5)x + (3/5)y = 0
L2: -(4/5)x + (3/5)y = 2√3
y A, B son los puntos de la figura , hallar d(A,B)
Rpta: d(A,B)=2√6

6. Hallar el area del paralelograma de la figura si
L1: P =t(9,12), t ∈ R
L2: (4, 10)+ s(3,4), s ∈ R
L3: (a, b)+ r(p,q), r ∈ R

7. Los puntos P1 =(x1,y1) y P2=( x2,y2) de la recta 5x – 12y + 15 = 0 distan 3 unidades de L: (3,4).((x,y) – (0,3)) = 0, hallar x1 + x2

8. Sean L1: kx + (k - 1)y -18 = 0; L2: 4x + 3y + 7 = 0 rectas no verticales . Si k1 es el valor de k para el cual L1// L2 y k2 el valor de k para el cual L1 ⊥ L2 calcular k1 y k2.Rpta: k2 – k1 =3/7 – 4 = -25/7

9. Hallar el punto Q que divide el segmento AB con A = (1,2), B = (9,7) en la razón :
a) 2: (-3) b) 3: 2 c) (-12): (-6)

10. Determinar m y n para que las rectas
L1: (2,0) + t(m,1); L2: (1/n,0) + s(-2,n)
Sean coincidentes.

11. Demostrar que la distancia entre las rectas paralelas ax + by + c = 0, ax+by + c’ =0, es
|c – c’|√a2 +b2

12. La recta L1: (1,3) + t(2,-6) forma con los ejes de coordenadas un triangulo de área A1. Si L2//L1 y forma con los ejes un triangulo de área A2 tal que A1/A2 = 4, encontrar la ecuación vectorial de L2 .

13. Hallar el valor de k para que (-1/2, -5/14), (5,3)/14 y (1/7, k +(3/14) sean colineales.

14. Hallar la ecuación de la recta que esta situada a 6 unidades delorigen, que pasa por (10,0) y que corte a la parte positiva del eje y.
Rpta: 15x + 20y =150 ( 3x + 4y -30 = 0

15. Si las bases de un trapecio tienen las ecuaciones 4x + 3y + 10 = 0, 8x – 6y + 30 = 0, hallar la altura.
Rpta: h = d(L1,L2) = 1

16. Graficar las siguientes relaciones en el plano.
a) y = |x – 2| + 2
b) y – 2x - |2 - x| = 0
c) y = |x + 2| - 4
d) 2x - |y| +|x| =1

17. Hallar los coeficientes a y b de ax + by + 6 = 0 de una recta se debe pasar por los puntos (1,4) y (3,-2).

18. Hallar la distancia entre las rectas 2x + y – 10 = 0 y 2x + y + 6 = 0

19. Hallar la ecuación de la recta cuyos puntos equidistan de las rectas paralelas 12x – 5y + 7; 12x – 5y – 2 = 0.
Rpta: 5/2

20. Si L: P.(1,2) = 0; L1: (P – (3,3)).(-3,-6) = 0...