Ejercicios De Estadísitica

Universidad del Bío-Bío
Facultad de Ingeniería
Depto. Ingeniería Industrial
Programa Magíster en Ingeniería Industrial

TAREA N°1:

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Nombre

: Franco Benismelis P.

Profesor

: Milton Ramírez M.

Asignatura : Estadística Industrial
Fecha

: 3 de Mayo de 2012

Considere la siguiente función de probabilidad denominada uniforme discreta.
()
a)

{Verifique que la función dada cumple con las condiciones de hipótesis del
Teorema del Límite Central.
Considere el caso particular para
12. Se pide extraer 200 muestras con
reemplazo de tamaños 10, 30 y 50.

b)

DESARROLLO
a)

Para mostrar que la función cumple con las condiciones de hipótesis del Teorema del
Límite Central debemos demostrar que tanto la esperanza como la varianzade ( )
son finitas, para ello debemos saber la forma de obtener su valor para el caso de
variables discretas:
[]

∑

()

[]

[

]

( [ ])

Para el caso de la esperanza tenemos:
[]

∑

[]

∑()

[]

()

∑

∑

(

)

[]

(

)

[]
Para la varianza tenemos que determinar en primera instancia [
[

]

∑

()

[

]

∑

()

[

]

∑

Página 2de 8

]:

(

∑

[

]

(

[]
[]
[]

)

(

]

[

)(

[

)(

)

)(

]

)

( [ ])
)(
)

(
(

(

)

)

[]

[]
De esta manera hemos demostrado que la esperanza y varianza de la función de
probabilidad ( ) son finitas, cumpliendo con las condiciones de hipótesis de
Teorema del Límite Central.
En este punto se busca comprobar que mientras mayorsea el tamaño de cada
), la distribución de las medias muestrales de ( ) se aproxima a la
muestra (
⁄ ).
normal con media y varianza ⁄ , esto es ̅
(
A continuación se muestran las medias muestrales para los tres tamaños muestrales:

Medias Muestrales
Tamaño n=10
250
N° de Muestra

b)

200
150

Medias
Muestrales

100
50
0
0

1

2

3

4

5

6

7

MediaMuestral

Página 3 de 8

8

9

10

11

Medias Muestrales
Tamaño n=30
N° de Muestra

250
200
150
Medias
Muestrales

100
50
0
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Media Muestral

Medias Muestrales
Tamaño n=50

N° de Muestra

250
200
150
Medias
Muestrales

100
50
0
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Media Muestral

Más abajo se exponenlas distribuciones de frecuencias de las medias muestrales
para los tres tamaños indicados anteriormente, además de sus histogramas y
polígonos de frecuencia correspondientes.
Para el caso de las tablas existe un valor relevante que se repite para los tres
tamaños indicados y que es necesario para determinar la amplitud de cada clase o
intervalo. Este es el caso del número de intervalos (k),el cual es calculado mediante
la regla de Sturge que dice que
. Como lo indica el enunciado, se
pide extraer 200 muestras con reemplazo, por ende,
200. Así el número de
intervalos esta dado por:

Es necesario señalar que las tablas de frecuencias poseen filas extras (intervalos 0 y
10) que representan intervalos proyectados necesarios para la construcción de los
polígonos de frecuenciaspara los distintos tamaños.
Por último, las medias muestrales fueron trabajadas con un decimal.
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MEDIAS MUESTRALES PARA n=10
̅

̅

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Extremos

Valor Mayor

10.3

Valor Menor

3.1

Rango

Unidad Decimal

7.2

Amplitud
INTERVALO
K
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

LIMITES
APARENTES
Li
Ls
3.1
4
4.9
5.8
6.7
7.6
8.5
9.410.3

3.9
4.8
5.7
6.6
7.5
8.4
9.3
10.2
11.1

0.8
⁄
LIMITES
MARCA
REALES
DE CLASE
LRi
LRs
Xi
2.15 3.05
2.6
3.05 3.95
3.5
3.95 4.85
4.4
4.85 5.75
5.3
5.75 6.65
6.2
6.65 7.55
7.1
7.55 8.45
8
8.45 9.35
8.9
9.35 10.25
9.8
10.25 11.15
10.7
11.15 12.05
11.6
TOTAL

FREC.
ABS.
fi
0
2
14
43
54
61
13
10
2
1
0
200

0.1

FREC.
ABS. AC.
Fi...