Ejercicios De Teoria Asintotica

Teor´ıa de Probabilidades: Material de Estudio
Problemas Resueltos de Teor´ıa Asint´
otica
Facultad de Ingenier´ıa, Universidad de los Andes
Prof. Andr´
es Iturriaga
Junio, 2012

1. Sean {Xn }n≥1 y X variables aleatorias definidas sobre un espacio de probabilidad (Ω, F, P ). Muestre
c.s.
c.s.
que si Xn → X, entonces para toda funci´on continua g, g(Xn ) → g(X).
Sol. Notemos que basta que lafunci´on g sea continua en un conjunto C tal que P (X ∈ C) = 1.
Sea g una funci´on continua. Consideremos el conjunto
D = {w ∈ Ω ∶ lim Xn (w) = X(w)}.
n→∞

Por hip´otesis, P (D) = 1. Notemos que para todo w ∈ D, lim g(Xn (w)) = g ( lim Xn (w)) = g(X(w)),
n→∞

n→∞

por continuidad de g. As´ı, definiendo el conjunto
E = {w ∈ Ω ∶ lim g(Xn (w)) = g(X(w))}
n→∞

c.s.

se tiene que P (E) = 1, pues D ⊆ E. Porlo tanto, g(Xn ) → g(X).
Obs.: Notemos que D, E ∈ F por argumentos de medibilidad de {Xn }n≥1 , X y g.
∎
2. Sean {Xn }n≥1 y X variables aleatorias definidas sobre un espacio de probabilidad (Ω, F, P ) con
P

c.s.

{Xn }n≥1 una sucesi´on mon´otona. Muestre que si Xn → X, entonces Xn → X.
P

Sol. Notemos que basta probar que ∀ > 0, P (lim sup{∣Xn − X∣ ≥ }) = 0. En efecto, Xn → X implica
n→∞

que ∀ >0,
(∗)

0 = lim P (∣Xn − X∣ ≥ ) = lim P ( ⋃ {∣Xk − X∣ ≥ }) = P (lim sup{∣Xn − X∣ ≥ }) ,
n→∞

n→∞

n→∞

k≥n

donde (∗) se cumple gracias a que la sucesi´on {Xn }n≥1 es mon´otona, esto pues,
{w ∈ Ω ∶ ∣Xk (w) − X(w)∣ ≥ } ⊆ {w ∈ Ω ∶ ∣Xn (w) − X(w)∣ ≥ },

∀k ≥ n.
∎

3. Sean {Xn }n≥1 y X variables aleatorias definidas sobre un espacio de probabilidad (Ω, F, P ). Dec.s.

P

muestre que Xn → X ssi sup ∣Xk− X∣ → 0.
k≥n

Sol. Sea > 0. Definamos, para todo n ∈ N, los conjuntos
An =

⋃ {w ∈ Ω ∶ ∣Xk (w) − X(w)∣ > },
k≥n

Bn = {w ∈ Ω ∶ sup ∣Xk (w) − X(w)∣ > } .
k≥n
c.s.

P

Dado que Xn → X ssi lim P (An ) = 0 y sup ∣Xk − X∣ → 0 ssi lim P (Bn ) = 0, basta demostrar que
n→∞

An = Bn para concluir el problema.

k≥n

n→∞

En efecto, sea w ∈ An . Sigue que ∃k0 ≥ n tal que ∣Xk0 (w)−X(w)∣ > . Entonces, sup∣Xk (w)−X(w)∣ >
k≥n

y w ∈ Bn . Luego, An ⊆ Bn .
Sea w ∈ Acn . Sigue que ∣Xk (w) − X(w)∣ ≤ , ∀k ≥ n. Entonces, sup ∣Xk (w) − X(w)∣ ≤
k≥n

Luego, Acn ⊆ Bnc ⇔ Bn ⊆ An y se concluye que An = Bn .

y w ∈ Bnc .
∎

d

d

d

4. Sean {Xn }n≥1 , Y y Z variables aleatorias. Demuestre que si Xn → Y y Xn → Z, entonces Y = Z.
Sol. Por hip´otesis,
FXn (y) → FY (y),

∀y ∈ C(FY ),

FXn (z) → FY (z),

∀z ∈ C(FZ ),donde C(FY ) y C(FZ ) corresponden al conjunto de puntos de continuidad de FY y FZ , respectivamente. Por unicidad del l´ımite en R, se tiene que FY (x) = FZ (x), ∀x ∈ C(FY ) ∩ C(FX ). As´ı, FY y
d
FZ difieren a lo m´as en (C(FY ))c ∪ (C(FX ))c , el cual es un conjunto numerable. Finalmente Y = Z,
ya que dos funciones de distribuci´on que concuerdan en un conjunto denso, concuerdan en todas
partes(ver p´agina 248 de [1]).
∎
5. Sea {Xn }n≥1 una suceci´on de variables aleatorias definidas sobre un espacio de probabilidad (Ω, F, P ).
d

P

Demuestre que si Xn → C, con C ∈ R constante, entonces Xn → C.
Sol. Notemos que
FXn (x) → 0,

si x < C,

FXn (x) → 1,

si x ≥ C.

Entonces, ∀ > 0,
P (∣Xn − X∣ > )

=

P (Xn > C + ) + P (Xn < C − )

=

1 − FXn (C + ) + FXn (C − )

→ 1 − 1 + 0 = 0,
P

esdecir, Xn → C.
∎
d

P

6. (Teorema de Slutsky) Demuestre que si Xn → X e Yn → C, con C ∈ R constante, entonces:
d

(a) Xn + Yn → X + C.
d

(b) Xn Yn → XC.
Sol. (a) Sea > 0. Entonces
FXn +Yn (x) = P (Xn + Yn ≤ x)
= P (Xn + Yn ≤ x, ∣Yn − C∣ ≤ ) + P (Xn + Yn ≤ x, ∣Yn − C∣ > )
≤ P (Xn ≤ x − C + , ∣Yn − C∣ ≤ ) + P (∣Yn − C∣ > )
≤ P (Xn ≤ x − C + ) + P (∣Yn − C∣ > )
= FXn (x − C + ) + P (∣Yn − C∣ > ).
2De lo anterior se concluye que lim sup FXn +Yn (x) ≤ FX (x − C + ), para x − C + ∈ C(FX ). Un
n→∞

argumento similar muestra que lim inf FXn +Yn (x) ≥ FX (x − C − ), para x − C − ∈ C(FX ). En
n→∞
efecto,
FXn (x − C − ) = P (Xn ≤ x − C − )
= P (Xn ≤ x − C − , ∣Yn − C∣ ≤ ) + P (Xn ≤ x − C − , ∣Yn − b∣ > )
≤ P (Xn + Yn ≤ x) + P (∣Yn − C∣ > )
= FXn +Yn (x) + P (∣Yn − C∣ > ).
De esto sigue que FX...