Ejercicios Matrices

EJERCICIOS
1

Matrices
1. En cada uno de los siguientes casos determinar (AB)C y A(BC)
1 1
1 4
;C =
1 0
2 3
2
3
1
1
2 1
1
1
0 5;C =
(b) A =
;B = 4 2
3 1
2
3
3
1
3
2
3 1 5
2. Sea X = 1 0 0 y A = 4 2 0 1 5 :
1 1 7
(a) A =

2
3

1
1

;B =

(a) Determinar el orden de XA y comparar con las …las o columnas de
A:

3. Calcule los
2
1
A=4 0
1

productos matriciales AB
2
3
2 3 1
6
1 1
1 5; B = 6
4
2 0
5

yBA
2
2
3
1

3
3
1 7
7
3 5
1

1
3
4
1

4. Para las matrices
A=

1
5

2 0
3 4

;B =

2
2

5
0

6
1

2

;C = 4

1 0 1
5 3 5
2 4 3

Veri…que directamente la distributividad a la derecha

3
7
2 5
2

(A + B)C = AC + BC
¿Se cumple la distributividad a la izquierda para estas tres matrices? Justi…que.
2
3
2
3
2
2
3
5
1
3
5
2
2
3
5 5yC =4 1
3
4
5 5;B = 4 1
5. Dadas A = 4 1
1
3
4
1
3
5
1
2
(a) Veri…que queAB = BA = 0;

AC = A

y

CA = C

(b) Use los resultados de (a) para comprobar que
ACB
A2 B 2
(A + B)2

= CBA;
= (A B)(A + B);
= (A B)2 = A2 + B 2
1

3
4
4 5
3

6. Dadas las matrices en M3
2
3
2
2 1
3
6
0 5; B = 4 0
A=4 5 2
3 1
4
0

2
1
1

Determinar X en M3 tal que

3
1
2 5;
0

2

4
C=4 0
1

3
1 2
3 2 5
2 3

2
1
2A + 3X = ( C):( B)
2
3
2

3
2
1 2
7. Dadas las matrices 4 3 4 5 y B = 4
5 6
demanera que A + B D = 0:

3
2
2
p
5 5 : Hallar D = 4 r
3
t

3
1
4

3
q
s 5
u

8. Sea A 2 M3 efectuar los siguientes productos
2
3
2
3
1 0 0
1 0 0
(a) 4 0 1 0 5 A;
A 4 0 1 0 5 ; r 6= 0; r en R
0 0 r
0 0 r
2
3
2
3
0 1 0
0 1 0
(b) 4 1 0 0 5 A;
A 4 1 0 0 5
0 0 1
0 0 1
3
2
3
2
1 0 0
1 0 0
A 4 0 1 k 5 ; k en R:
(c) 4 0 1 k 5 A,
0 0 1
0 0 1
3
2
2a
2b
2c
9. Exprese B = 4 x + 5u y + 5v z + 5w 5 como productomatricial de
u
v
w
2
3
a b c
A = 4 u v w 5 y matrices del tipo (a) ,(b),y (c) del ejercicio anterior.
x y z
10. Si

x1 = y1 2y2 + y3
x2 = 2y1 + y2 3y3

y

y1 = z1 + 2z2
y2 = 2z1 z2
y3 = z1 + 3z2

compruebe que :
x1
x2

=

1
2

2
1

1
3

2

3
y1
4 y2 5 ;
y3

2

3 2
y1
1
4 y2 5 = 4 2
y3
1

11. Determinar todas las matrices A de orden 2
tales que cumplan A2 = 0

2

3
2
1 5
3

z1
z2

2 con coe…cientesreales,

12. Determinar todas las matrices A de orden 2
tales que cumplan A2 = I

2 con coe…cientes reales,

13. Se dice que una matriz A es involutiva si y sólo si A2
2
3
2
0
1
1
3
4 5 y C = 4
(a) Veri…que que B = 4 4
3
3
4
matrices involutivas.
14. Si A =

cos t
sin t

sin t
cos t

= In
4
1
4

3
0
4

3
3
1 5 son
3

: Calcular Ak ; para k = 1; 2; 3:

15. En mecánica cuántica a veces se usan lasllamadas matrices de Spin de
Pauli.
x=

0
1

1
0

1
0

y=

0
1

z=

0 i
i 0

con i2 =

1

Muestre que dos matrices cualesquiera de ellas “anticonmuta” (AB =
BA).
16. Sea A = [aij ] una matriz cuadrada de orden n; con
8
j =i+1
< 1
aij =
:
:
0
j=
6 i+1
Pruebe que An = 0 y An

17. Sean A =

1
2

1
2

1

;B=

6= 0:

1
0

1
3

:

Determinar (A + B)t ; At + B t ; A + At ; B + B t :
2
3
1 2
2
1 2
18. SeanA = 4 2 0 5 ; B =
:
1
1 0
1 3
(a) Determinar (AB)t ;

B t At ;

AAt ;

At A:

(b) Veri…que que AAt ;

At A son simétricas.

(c) Veri…que que (AB)t = B t At :
19. Determine si son Verdaderas o Falsas las siguientes a…rmaciones. Justi…que adecuadamente en cada caso.
(a) Cada matriz antisimétrica tiene la diagonal principal igual a cero.
(b) Para toda matriz A 2 M2 . Si A4 = 0 entonces A = 0:

(c)El producto de matrices simétricas del mismo orden es simétrica.
3

(d) Para toda matriz A 2 M2 se tiene At A = AAt :

(e) Para toda matriz A 2 M2 se tiene 12 (A + At ) es simétrica.

(f) Para toda matriz A 2 M2 con A 6= 0 entonces existe B tal que
AB = I2 :

(g) Si A y B son matrices de orden 3 y AB = 0 entonces A = 0 ó B = 0:
2
3
2
3
3
5
6
3
1 2
1 1 5 : Veri2
2 5yB=4 2
20. Dadas las matrices A =4 1
1
1
1
1
3 0
…que que
3
2
3
2 1
1
1
0
1 2
2
2
1
1 5
3 0 5 y B 1 = 4 61
A 1=4 1
3
6
7
4
5
1
2 1
6
3
6
1

Además. Calcular (AB)

;

1

(BA)

(A2 )

;

1

;

(ABA)

1

:

21. Sea A una matriz regular de orden 3:
(a) Demostrar que (A

1 t

) = (At )

1
1

(b) Si A es simétrica entonces A
22. Dadas las matrices A =

0
1

3
0

:

es simétrica.

;B =

0
4

1
3

: Resuelva la siguiente

ecuación...