Ejercicios Recta Normal Y Plano Tangente A Una Superficie

Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuación

en el punto P(1,2,3).

Solución: Hallamos las derivadas parciales:

; En el punto P(1,2,3) las derivadasparciales son:

; Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,2,3) es: , o bien, simplificando y la ecuación de la recta normal es:

———————————————————————————————— —
27. Halla laecuación del plano tangente y de la recta normal al hiperboloide de ecuación

en el punto P(1,-1,4).

Solución: Consideramos la función Hallamos las derivadas parciales: ; ;

En el puntoP(1,-1,4) las derivadas parciales son: ; ;

Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,-1,4) es: , o bien, simplificando y la ecuación de la recta normal es:

nota: El vector gradiente

puedesimplificarse por el vector

———————————————————————————————— —
28. Halla las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie paralelos al plano . que sean

Solución: Consideramos lafunción Hallamos las derivadas parciales: ; El vector gradiente ;

es perpendicular a la superficie en el punto de tangencia y, luego sus componentes serán

por tanto, será paralelo al vector normalal plano dado proporcionales:

Despejando x, y, y z en función de t y sustituyendo en la ecuación de la superficie resulta . Luego los puntos de tangencia son P(1,2,2) y Q(-1,-2,-2), y elgradiente: y Por consiguiente las ecuaciones de los planos tangentes son:

, o bien, simplificando , o bien, simplificando

y

———————————————————————————————— —
29. Dada la superficie se pide:

(a)Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P(2,1,2). (b) Usar el plano tangente para obtener una aproximación del valor de la función en el punto Q(1' 9, 1' 02).Solución: (a) La ecuación del plano tangente viene dada por: Hallamos las derivadas parciales:

; En el punto P(2, 1) las

derivadas parciales son:

; Luego la ecuación del plano tangente es:

(b)...