Ejercicios Resueltos De Funciones Vectoriales

Funciones Vectoriales y Curvas Ejercicios resueltos
1.1 Ejercicio 1 Un par de trayectorias de [0; 1) en R3 se de…nen por !(t) = (cos t; sin t; bt) c y !(t) = (1; 0; t). Responda las siguientes preguntas: r a) ¿Se intersectan las curvas generadas por !(t) y !(t)? c r b) Si estas trayectorias representan el desplazamiento de un par de partículas. ¿En que puntos ,si los hay, estas partículas seencuentran? Solución: a) !(t) es la ecuación de la hélice ascendente sobre el manto del cilindro c 2 x + y 2 = 1 y cada vuelta demora 2 unidades de tiempo. Asimismo, !(t) = (1; 0; t) es una recta vertical paralela al eje axial del cilindro , que r esta sobre el manto de x2 + y 2 = 1 y pasa por (1; 0; 0). Igualando las primeras componentes cost = 1 ,obtenemos que las curvas se intersectan para t = 0;2 ; 4 ; : : : b) Igualando las terceras componentes bt = t =) Si b = 1;entonces las partículas se encuentran en los puntos (1; 0; 0); (1; 0; 2 ); :::; (1; 0; 2n ) con n 2 Z+ . 0 1.2 Ejercicio 2 La curva C es de…nida a partir de la trayectoria !(t) = (2 cos(t); 2 sin(t); t) c con 0 t 2 . Describa la representación grá…ca de C y pruebe que si se usa como parametro la longitud de arco s , el vectortangente a la curva es un vector unitario. Solución: Por la continuidad de las funciones x(t) = 2cos(t); y(t) = 2sin(t) y z(t) = t !(0) = (x(0); y(0); z(0)) = (2; 0; 0) podemos inferir que C parte del punto c !(2 ) = (x(2 ); y(2 ); z(2 )) = (2; 0; 2 ); además que la curva se y terminaen c asciende a través del manto del cilindro x2 + y 2 = 4 porque [x(t)]2 + [y(t)]2 = [2 cos(t)]2 + [2 sin(t)]2 = 4como se ilustra en la …gura El vector posición de esta curva es !(t) = (2cos(t); 2sin(t); t). El vector c tangente es !0 (t) = ( 2 sin(t); 2 cos(t); 1) D(a) c y la longitud del vector tangente es p p k!0 (t)k = [ 2 sin(t)]2 + [2 cos(t)]2 + 1 = 5 (b) c 1

Rt De…nimos s(t) = 0 kc0 (u)k du para t 2 [0; 2 ] =) s(t) es la longitud de curva C desde (2; 0; 0) hasta (x(t); y(t); z(t)): Claramente s(t)es continua y estrictamente creciente en [0; 2 ] la ecuación s = s(t) puede resolverse para t como una función de s, es decir t = t(s) (c) s En este caso t = p5 así es que !(s) = !(t(s)) = c c 2 cos s p 5 ; 2 sin s p 5 s ;p 5 1 1 p ;p 5 5 (1)

La longitud total de esta curva es Z 2 Z Longitud = k!0 (t)k dt = c
0

2

p

5dt = 2

p

5

0

es vector posición en términos de s,derivando !0 (s) = !0 (t(s)) = c c = 2 p 5 sin s p 5 s r 2 sin 1 s p p ; 2 cos 5 5 s 1 ; cos p ; 2 5
2

s p 5

Calculando su modulo k!0 (s)k = c = 2 p 5 2 p 5

sin

s p 5 1 =1 4

+ cos

s p 5

2

+

1 4

1+

Por lo tanto, !0 (s) es vector unitario. c Especi…caciones: a) Si !(t) describe la trayectoria de una partícula en el espacio, el vector c !0 (t) = ( 2 sin(t); 2 cos(t); 1) esla velocidad con que se desplaza la partícula c por la curva C en el punto !(t), en el instante “t” c . p b)k!0 (t)k = 5 es la rapidez con que se desplaza la partícula, 8t, lo que c signi…ca que la partícula se mueve con rapidez constante 8t. c) Asimismo, la longitud del arco es Z t s(t) = k!0 (t)k du c 0 Z tp p = 5du = 5t
0

s 5t =) t = p 5 En general y en teoría la ecuación s = s(t) siemprese puede resolver para t en términos de s, es decir tener t = t(s). En la práctica existen casos en los que por razones algebraicas no se puede tener t = t(s) ¿Conoces algún caso? s=

p

2

1.3 Ejercicio 3 ! ! Una partícula se mueve en el espacio con vector posición !(t) = t A +t2 B + r 3 ! ! ! ! 2 2 3 t 2 A B , donde A y B son dos vectores unitarios …jos que forman ángulo de 3 radianes.Calcular la velocidad de la partícula en el instante t y determinar en cuanto tiempo recorre una distancia de 12 unidades de longitud de arco desde la posición en t = 0: Solución: La velocidad es el vector !(t) = !0 (t) donde v r !0 (t) = ! + 2t! + 3 r A B Por lo tanto !(t) = ! + 2t! + 2 v A B 2 t 3 2 t 3
1 2

2! A 3 ! A

! B

1 2

! B

Para la segunda parte del problema usaremos Z t q...