ejercicios resueltos limites de funciones

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CS. FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
CCS/ccs

19/05/2005
EJERCICIOS DE REPASO (SOLUCIONES)
C´lculo I y II (520141)
a
Christian Cardoso S.

1. Decidir, justificando adecuadamente, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o
falsas:
a) ( Certamen de Recuperaci´n No 2. 2004 ) Si l´ an = 0 y {bn }∞ es acotada,
o
ım
n=m
n→∞entonces l´ an bn = 0.
ım
n→∞

Soluci´n propuesta:
o
Hip´tesis:
o
{bn }∞ es acotada ⇒ ∃ M > 0 tal que |bn | ≤ M .
n=m
ε
l´ an = 0 ⇒ Dado ε > 0, ∃ N ∈ N tal que, si n ≥ N , entonces |an | <
ım
.
n→∞
M
Tesis: l´ an bn = 0
ım
n→∞

En efecto, para el ε > 0 dado en la hip´tesis, ∃ N ∈ N tal que, si
o
ε
n ≥ N ⇒ |an bn | = |an ||bn | <
M = ε.
M
Por lo tanto, la afirmaci´n esverdadera
o
3nα
b) ( Certamen No 2. 2004 ) Si an = 4
, entonces (an )n≥1 converge para todo
n +1
α ∈ R.
Soluci´n propuesta:
o
3n5
Para α = 5 se tiene que an = 4
y
n +1
5
3n
3
l´ an = l´
ım
ım 4
= l´ n ·
ım
= +∞, diverge.
1
n→∞
n→∞ n + 1
n→∞
1+ 4
n
Por lo tanto, la afirmaci´n es falsa
o
1
c) ( Certamen No 2. 2004 ) La sucesi´n (an )n≥1 , con a1 = 1 y an+1 = an + es
o
nmon´tona creciente.
o
Soluci´n propuesta:
o
1
∀ n ≥ 1: an+1 − an = > 0 ⇒ an < an+1 .
n
Por lo tanto, la afirmaci´n es verdadera
o
1

2. Evaluar los siguientes l´
ımites de sucesiones:
a) ( Certamen No 1. Segunda Parte. 2000 ) l´ n(n −
ım
n→∞

√

n2 − 9)

Soluci´n propuesta:
o
l´ n(n −
ım

n→∞

√

n2 − 9) =
=
=

=

=

√
n + n2 − 9
√
l´ n(n − n2 − 9)
ım
n→∞
n +n2 − 9
9n
n2 − (n2 − 9)
√
√
= l´
ım
l´ n
ım
2−9
n→∞ n +
n→∞
n+ n
n2 − 9
9n
9n
l´
ım
= l´
ım
n→∞
n→∞
9
9
2 1−
n+n 1− 2
n+ n
n
n2
9
l´
ım
n→∞
9
1+ 1− 2
n
9
2
√

n2 3n+2 + 3n
n→∞ 5n2 − 3n + 1

b) ( Certamen No 1. Segunda Parte. 2000 ) l´
ım
Soluci´n propuesta:
o
n2 3n+2 + 3n
=
n→∞ 5n2 − 3n + 1
l´
ım

n2 3n 32 + 3n
9n2 + 1
= l´ 3n 2
ım
n→∞ 5n2− 3n + 1
n→∞
5n − 3n + 1
1
9+ 2
n
= l´
ım 3n
3
1
n→∞
+ 2
+∞ 5 −
n n
l´
ım

>0

= +∞

2

c) ( Certamen No 1. 2001 ) l´
ım

√

n→∞

Soluci´n propuesta:
o
√
√
√
l´
ım 18n( 2n + 4 − 2n) =

n→∞

=
=
=
=

=

√
√
18n( 2n + 4 − 2n)

√ √ √ √
√ √
l´ 3 2 n( 2 n + 2 − 2 n)
ım
n→∞
√ √
√
l´ 6 n( n + 2 − n)
ım
n→∞
√
√
√ √
√
n+2+ n
l´ 6 n( n + 2 −n) √
ım
√
n→∞
n+2+ n
√
√
n+2−n
12 n
l´ 6 n √
ım
ım
√ = l´ √
√
n→∞
n + 2 + n n→∞ n + 2 + n
√
√
12 n
12 n
l´
ım
= l´
ım
n→∞
n→∞ √
2 √
√
2
n 1+ + n
n 1+
+ n
n
n
l´
ım

12

n→∞

1+

2
+1
n

= 6
3. Calcular los siguientes l´
ımites:
√
2x − 4
a) l´
ım
x→8 x − 8
Soluci´n propuesta:
o
√
√
√
2x − 4
2x − 4 2x + 4
√
l´
ım
= l´
ım
x→8 x − 8x→8 x − 8
2x + 4
2x − 16
2(x − 8)
√
√
= l´
ım
= l´
ım
x→8 (x − 8)( 2x + 4)
x→8 (x − 8)( 2x + 4)
2
= l´ √
ım
x→8
2x + 4
1
=
4
√
u2
Opci´n.- Sea u = 2x ⇔ x = . Si x → 8 ⇒ u → 4. Luego:
o
2
√
2x − 4
u−4
2(u − 4)
l´
ım
= l´
ım 2
= l´
ım 2
x→8 x − 8
u→4 u
u→4 u − 16
−8
2
2(u − 4)
2
= l´
ım
= l´
ım
u→4 (u + 4)(u − 4)
u→4 u + 4
1
=
4
3

√
x+4−2
b) l´ √ım
x→0
x+9−3
Soluci´n propuesta:
o
√
√
√
√
x+4−2
x+4−2
x+4+2
x+9+3
l´ √
ım
= l´ √
ım
·√
·√
x→0
x→0
x+9−3
x+9−3
x+4+2
x+9+3
√
(x + 4 − 4)( x + 9 + 3)
√
= l´
ım
x→0 (x + 9 − 9)( x + 4 + 2)
√
√
x+9+3
x( x + 9 + 3)
= l´
ım √
= l´ √
ım
x→0 x( x + 4 + 2)
x→0
x+4+2
3
=
2
c)

l´ f (x),
ım

x→2

f (x) =

x2 + |x − 2| − 4
x2 − 4

Soluci´n propuesta:o
Se tiene que:

 −(x − 2) si x < 2
0
si x = 2
|x − 2| =

x−2
si x > 2
Luego, f se puede escribir como:
 2
 x − x − 2 si x < 2


 x2 − 4
f (x) =
 x2 + x − 6



si x > 2
x2 − 4
Analizando los l´
ımites laterales:
l´ − f (x) = l´ −
ım
ım

x2 − x − 2
(x − 2)(x + 1)
x+1
3
= l´ −
ım
= l´ −
ım
=
2−4
x→2 (x + 2)(x − 2)
x→2 x + 2
x
4

l´ + f...