Ejercicios resueltos integrales

UNIVERSIDAD ANDRES BELLO.
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS.
Profesor: David Zúñiga C.
Ejercicios resueltos.

1. Usando integración resolver:
a) Hallar la ecuación de la curva tal que:

dy
= 2 x − 3 y pasa por el punto (0, 2)
dx

Solución:
Para este tipo de problemas debemos recordar que la derivada de una función evaluada
en el punto ( x, y ) corresponde a la pendiente de la recta tangente a lagráfica de la
función que pasa por ese punto ( x, y ) .
Para este caso tenemos que:
dy
= 2x − 3
dx
dy = (2 x − 3) dx Integrando se obtiene:

y = x 2 − 3 x + C Y como la curva debe pasar por (0, 2) , entonces al evaluar la función
en x = 0 debe dar un y = 2
∴ 2 = 02 − 3 ⋅ 0 + C ⇒ C = 2

∴ La ecuación de la curva pedida es y = x 2 − 3 x + 2

b) Obtener la ecuación cuya gráfica pasa por el punto (2, 3) y lapendiente en ese punto
sea 5 x − 1
Solución.
Recuerde que la pendiente de una curva cualquiera en un punto dado es igual a la
pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto.
f ' ( x) = 5 x − 1

5x 2
− x+C
2
Como la gráfica de f (x) pasa por el punto (2, 3) se debe cumplir que:
f ( x) = ∫ (5 x − 1) dx =

f ( 2) =

5 ⋅ 22
− 2 + C = 3 ⇒ C = −5
2

∴La ecuación de la curva pedida es y =

5x 2
−x−5
2

c) Encuentre una curva y = f (x) con las siguientes propiedades
d2y
i)
= 6x
dx 2
ii) Que su gráfica pase por el punto (0, 1) y tenga una tangente horizontal ahí.
Solución.

d2y
Que la segunda derivada sea
= 6 x implica que la primera derivada es:
dx 2
y ' = 3x 2 + C
Por ahora no sabemos cual es el valor de C
Integrando nuevamente podemos conocer el valor de la función:
y = x 3 + Cx + K Seusa la constante K para diferenciarla de la primera constante.
Ahora lo que si sabemos es que la función debe pasar por el punto (0, 1)
Esto implica que al reemplazar la x por cero debe dar uno.
y = (0) 3 + C (0) + K = 1 Por lo tanto K = 1
En definitiva la función queda como: y = x 3 + Cx + 1 ahora para conocer el valor de C
note que la grafica de la función debe tener una tangente horizontal eneste punto (0, 1) ,
es decir la derivada evaluada en este punto debe ser cero. (Recuerde que la derivada
corresponde a la pendiente de la recta tangente y si esta es horizontal, entonces es cero,
ya que es paralela al eje x).
∴ y ' (0) = 3(0) 2 + C = 0 ∴ C = 0
Luego la función pedida es y = x 3 + 1

2. Resuelva mediante integración directa.
a)

∫

x5 + 7x3 − x
3

x

dx

Solución.

∫

 x5 7x3
x
dx= ∫  1 + 1 − 1
x 3 x 3 x 3

x5 + 7x3 − x
3

x

17

11

3 x 3 21x
=
+
17
11

3


14
8
2
 dx =  x 3 + 7 x 3 − x 3  dx
∫





5

3x 3
−
+C
5

b) ∫ (cos x − 5 sin x − 7) dx
Solución.

∫ (cos x − 5 sin x − 7) dx

= ∫ cos x dx − 5∫ sin x dx − 7 ∫ dx = sin x + 5 cos x − 7 x + C

∫

c)

x ( x − 3) dx

Solución.
5

3
1
1
1
3
2x 2
∫ x ( x − 3) dx = ∫  x 2 ⋅ x − 3 ⋅ x 2  dx = ∫  x 2 −3x 2  dx = 5 − 2 x 2 + C
4
2 

d) ∫  7 − 5 + 2  dx
x
x 

Solución.
x −4
x −1
1 2
4
2 

−5
−2
∫  7 − x 5 + x 2  dx = ∫ (7 − 4 x + 2 x ) dx = 7x − 4 ⋅ − 4 + 2 ⋅ −1 + C = 7x + x 4 − x + C
2
e) ∫ 5 dx
x
Solución:

∫

2
5

x

= ∫2⋅ x

dx

−1

5

5⋅ x
= 2⋅
4

dx

4

5

4

+C

5x 5
=
+C
2

 9x 2 − 3 x 
 dx
f) ∫ 

x


Solución:
1
2
2
 9x 2 − 3 x 
−1
1
9
x
3
⋅
2
⋅
x
9x 2


2
2

=
9
x
−
3
x
dx
=
−
+
C
=
−
6
x
+C
dx


∫ x 
∫

2
1
2


4


g) ∫  4 x + x4 + + e4 + e4 x  dx
x


Solución:
4 4 4x 
1

4
4
4
4x
∫  4x + x + x + e + e  dx = 4∫ x dx + ∫ x dx + 4∫ x dx + e ∫1 dx + ∫ e dx
4 4 4x 
x2 x5
e4 x

4
4
4
x
+
x
+
+
e
+
e
dx
=
4
+
+
4
ln
x
+
e
x
+
+C

∫ 
x
2
5
4

4 4 4x 
x5
e4 x

4
2
4
4
2
4
ln
x
+
x
+
+
e
+
e
dx
=
x
+
+
x
+
xe
+
+C


∫
x
5
4
h)

1 
1
1+   x2 − 2
x
2 

∫

2


 dx


Solución:
2

∫

1 
1 
1 +   x 2 − 2  dx =
x 
2 

∫

1
1
1
1 +  x 4 − 2 ⋅ x 2 ⋅ 2 + 4  dx =
4
x
x 

x4 1
1
1 + − + 4 dx =
4 2 4x

∫

x4 1
1
+ + 4 dx =
4 2 4x

=

∫

=

x2
1
x3
1
dx
+
dx
=
−
+C
∫2
∫ 2x 2
6
2x

∫

1
1
1 +  x 4 − 2 + 4  dx
4
x 
2

∫

 x2
1 
 + 2  dx =
 2 2x 

x2
1
∫ 2 + 2x 2 dx

3. Usando la...