ejercicios resueltos optimizacion lineal

PROBLEMAS DE OPTIMIZACION LENEAL

Ejemplo #1
Encontrar dos numeros que sumados el resultado sea 100 y que su producto sea maximo.
Funcion objetivo: f(x,y)=xy
Restriccion: x+y=100
Despejar una variable de la restriccion: y=100-x
Sustituir en la funcion objetivo: f(x)=x(100-x) = 100x - x^2
con esto la funcion objetivo ya solo depende de una variable.
Derivar: f'(x)=100 - 2xIgualar a cero la derivada para encontrar puntos criticos: 0=100 - 2x se ecuentra: x=50
si existieran muchos puntos criticos se deduciria el resultado con la prueba de la segunda derivada.
Respuesta: los numeros que hacen maximo la multiplicacion y su suma sea 100 son 50 y 50.
Ejemplo #2
Se desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y un area de 108 pulgadas cuadradas de superficie,que dimensiones tiene que tener la caja para que su volumen sea maximo?
Funcion objetivo: V(x,y)=x^2h (Donde x^2 representa la base y h la altura)
Restriccion: x^2+4xh=108
Despejar una variable de la restriccion: h=\frac{108-x^2}{4x}
Sustituir en la funcion objetivo: V(x)=x^2(\frac{108-x^2}{4x}) = 27x-\frac{x^3}{4}
con esto la funcion objetivo ya solo depende de una variable.Derivar: V'(x)=27-\frac{3x^2}{4}
Igualar a cero la derivada para encontrar puntos criticos: 0=27-\frac{3x^2}{4} simplificando 3x^2=108 x=6 y x=-6
Una respuesta negativa en el caso de que se esta buscando una medida para un objeto no tiene sentido.
Conociendo el valor de x ahora se puede obtener h=\frac{108-6^2}{4*6} y se llega a h = 3 Respuesta: las dimensiones de la caja son 6x6 pulgadasen la base y una altura de 3 pulgadas.
Ejemplo #3
Con cuatro pies de alambre se desean construir un circulo y un cuadrado, cuanto alambre hay que emplear en cada figura para lograr que entre ambas encierren el area maxima posible?
Funcion objetivo: A=b^2 + \pi r^2 (Donde b^2 representa el area de un cuadrado y \pi r^2 el area de un circulo)
Restriccion:4b + 2 \pi r = 4 "ya que lo quebuscamos es el diametro del cuadrado y el diametro del circulo".
Ahora despejamos "b" de la restriccion para luego sustituirla en la funcion objetiva: 4b = 4 - 2 \pi r
b=\frac{4-2 \pi r}{4} y simplificando se llega a b = 1 - 1/2 \pi r .sustituimos en la funcion objetiva y nos queda:
A = (1 - 1/2 \pi r)^2 + \pi r^2
ahora a llegado el momento de Derivar,(derivamos luego de que ya ayamossustituido y nos queda todo en funcion de "r":
A'= 2(1 - 1/2 \pi r)( 1/2 \pi ) + 2 \pi r
A'= (2 - \pi r)( 1/2 \pi ) + 2 \pi r
A'= \pi - 1/2 \pi^2 r + 2\pi r =0 aca igualo de una vez la funcion a 0.
\pi + r(- 1/2 \pi^2 2\pi) = 0 aca factorice "r"
r=\frac{- \pi }{- 1/2 \pi^2 2\pi} aca despejamos "r"
r=\frac{- \pi }{ - \pi ( - 1/2 \pi - 2)} aca sacamos factor comun en el denominadorde : \pi
ahora eliminamos tanto en el numerador como en el denominador a : \pi
y llegamos a:
r=\frac{- 1}{(- 1/2 \pi - 2)}
r = 0.28 pies " que es lo que se utilizaria para formar el diametro del circulo ".
ahora solo nos queda sustituir el valor de "r" en la siquiente ecuacion que ya habiamos despejado antes:
b = 1 - 1/2 \pi r
b = 1 - 1/2 \pi (0.28)
y nos da un valor de:
b= 0.560177028 pies " que es lo que se utilizaria para formar el diametro del cuadro ".
Respuesta: Usaremos 0.560177028 pies de cable para formar el diametro del cuadro y 0.28 pies mas para formar el diametro del circulo, para comprobarlo pueden sustituir los valores de "b" y "r" en la restriccion y se daran cuenta que los valores son correctos ya que se cumple la igualdad
Ejemplo #5Calcule el area del rectangulo mas grande que se puede inscribir en un triangulo rectangulo cuyos catetos miden 5 y 7cm, si dos lados del rectangulo coinciden con los catetos.
Sabemos que si introducimos un rectangulo adentro del triangulo rectangulo, una de las esquinas del rectangulo (superior derecha) se topa con un punto de la hipotenusa del triangulo. Si llevamos nuestro triangulo a un plano...