Ejercicios Varios Integrales

Ejercicios
1. Calcule

arc sen(x)
√
dx.
1−x2

Soluci´
on:
Sea u = arc sen(x), entonces du =
Luego
arc sen(x)
√
dx =
1 − x2
2. Calcule

√ dx .
1−x2

u du =

u2
(arc sen(x))2
+C =
+ C.
2
2

√
x2 + 2x + 5 dx.

Soluci´
on:
√

x2 + 2x + 5 dx =

(x + 1)2 + 4 dx

Sea u = x + 1, entonces du = dx. La integral puede escribirse como
√

u2 + 4 du

Sea u = 2 tan(t), luego du = 2 sec2 (t)dt. Con esto, laintegral puede escribirse
como
4 sec3 (t)dt
Para calcular esta u
´ltima, usamos integraci´on por partes con u = sec(t),dv = sec2 (t)dt.
Se tiene
sec3 (t)dt =
=
=
=
Luego

sec3 (t)dt =
4

1
2

sec(t) tan(t) − sec(t) tan2 (t)dt
sec(t) tan(t) − sec(t)(sec2 (t) − 1)dt
sec(t) tan(t) − sec3 (t)dt + sec(t)dt
sec(t) tan(t) + ln | sec(t) + tan(t)| − sec3 (t)dt
sec(t) tan(t) + ln | sec(t) + tan(t)| + C y

sec3(t)dt = 2(sec(t) tan(t) + ln | sec(t) + tan(t)|) + C

1

Que escrita en t´erminos de u queda
√
1 √ 2
u2 + 4 + u
· u u + 4 + 2 ln |
|+C
2
2
Finalmente, usando u = x + 1, se tiene
√
√
√
1
x2 + 2x + 5 + x + 1
2
2
x + 2x + 5 dx = (x + 1) x + 2x + 5 + 2 ln |
|+C
2
2
1

3. Un fabricante estima que el ingreso marginal es de 200q − 2 d´olares por unidad
cuando el nivel de producci´on es de q unidades. Seha determinado que el costo
marginal correspondiente es de 0,4q d´olares por unidad.
Si la utilidad del fabricante es de $2000 cuando el nivel de producci´on es de
25 unidades, ¿Cu´al ser´a la utilidad cuando el nivel de producci´on sea de 36
unidades?
Soluci´
on:
Sean U (q), I(q), C(q) la utilidad, el ingreso y el costo asociado a una producci´on de q unidades,respectivamente. Buscamos lafunci´on
U (q) = I(q) − C(q)
1

Sabemos que U (q) = I (q) − C (q) = 200q − 2 − 0,4q. Basta encontrar una
antiderivada de U que cumpla U (25) = 2000.Luego
U (q) =

U (q) dq =

(I (q)−C (q))dq =

1

1

(200q − 2 −0,4q)dq = 400q 2 −

q2
+C
5

De U (25) = 2000, se tiene que C = 125. Por lo tanto
1

U (q) = 400q 2 −

q2
+ 125
5

Finalmente, la utilidad cuando el nivel de producci´on sea de 36 unidades ser´a U(36) = 2265,8
d´olares.
4.

a) Calcule

2x2 +x−1
dx.
(x−1)(x2 +1)

Soluci´
on:
Notemos que podemos escribir
2x2 + x − 1
A
Bx + C
=
+
(x − 1)(x2 + 1)
x−1
x2 + 1
2

Con A = 1, B = 1, C = 2. Se tiene entonces
2x2 +x−1
dx
(x−1)(x2 +1)

b) Calcule

1
= ( x−1
+ xx+2
2 +1 )dx
1
dx + x2x+1 dx + x22+1 dx
=
x−1
1
=
dx + 21 x22x+1 dx + 2 x21+1 dx
x−1
= ln |x − 1| + 12 ln |x2 + 1| + 2 arctan(x) + C

earcsinx dx. (Recuerde que w = arcsin(x) ⇔ sin(w) = x).

Soluci´
on:
Integramos por partes, con u = earcsin x y dv = dx. La integral queda
xearcsin x
√
dx
1 − x2

earcsin x dx = xearcsin x −
Para calcular

arcsin x
xe
√
dx,
1−x2

xearcsin x
√
dx =
1 − x2

hacemos la sustituci´on w = arcsin(x). Nos queda
sin(w)ew dw =

ew sin(w) − ew cos(w)
2

(Esta u
´ltima integral se calcul´o en clases. Se integra porpartes). Hay que
escribirla
en t´erminos de x.Para ello usamos que sin(w) = x y cos(w) =
√
2
1 − x . Luego
√
xearcsin x
earcsin(x) x − earcsin(x) 1 − x2
√
dx =
2
1 − x2
Luego
arcsin(x)

arcsin(x)

earcsin x dx = xearcsin x − xe √ −e 2
arcsin(x) −earcsin(x) 1−x2
= xe
+C
2
= earcsin(x) ·

5.

a) Calcule
b) Calcule
c) Calcule
d ) Calcule

√
x− 1−x2
2

sin(ln(4x2 ))
dx.
x
√
(6t − 1) sin 3t2 − t − 1
√dx.
3t2 − t − 1
1
dx.
arctan
x
dx
√
.
2x − x2
3

+C

√

1−x2

+C

6. Verifique la formula de reducci´on:
sinn x dx = −
π
2

yu
´sela para calcular

sinn−1 x cos x n − 1
+
n
n

sinn−2 x dx

sin6 x dx.

0

(Hint: Use integraci´on por partes.)
7. Demueste que
3

√
3

1,5 ≤
0

dx
≤2
4 + 4x − x2

Soluci´
on:
1
sobre [0, 3]. Una
Debemos encontrar el m´aximo y el m´ınimo de f (x) = √
3
4+4x−x2
maneraser´ıa derivar directamente f y buscar los puntos cr´ıticos (considerando
x = 0 y x = 3). Otra forma es usar la funci´on auxiliar g(x) = 4 + 4x − x2 que
1
es m´as sencilla para estudiar. Notemos que f (x) = √
.Luego en los puntos
3
g(x)

dode g alcanza un m´aximo, f alcanza un m´ınimo y viceversa.
Como g (x) = 4 − 2x, los puntos criticos, considerando los extremos del intervalo, son x = 0, 2, 3....