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Operaciones con fracciones algebraicas y radicales

Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

OPERACIONES CON FRACCIONES
ALGEBRAICAS Y RADICALES
UNIDAD VI
VI.1 TEOREMAS DEL RESIDUO Y DEL FACTOR
Sea un polinomio en x de la forma:

P (x ) = an x n + a n −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + a n −3 x n −3 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 x + a0
donde

an , an−1 ,an−2 , L, a0

se dice que

son coeficientes numéricos y

n ∈ N,

c ∈ R es un cero o raíz, de P (x ) si y sólo si P (c ) = 0 . Es decir, la raíz de un polinomio es

el número que toma la variable para que el valor numérico de P ( x ) sea cero.
Ejemplos.
1) En el polinomio

P (x ) = x 2 − 1 ,

sus raíces son:

x = 1 ya que P (1) = (1) − 1 = 1 − 1 = 0
x = −1 ya que P (− 1) = (− 1)2− 1 = 1 − 1 = 0
2

2) En el polinomio

P (x ) = 4 x 2 − x , sus ceros son:

x = 0 ya que P (0 ) = 4(0 )2 − 0 = 0 − 0 = 0
2
1
x = ya que P  1  = 4 1  − 1 = 4 − 1 = 0
4
4 16 4
4
4
3) En el polinomio

P ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 6 x , sus raíces son:

x = 0 ya que P (0 ) = 0 3 − 5(0 )2 + 6(0 ) = 0 − 0 + 0 = 0
x = 2 ya que P (2 ) = 2 3 − 5(2 )2 + 6(2 ) = 8 − 20 + 12 = 0
x =3 ya que P (3) = 3 3 − 5(3)2 + 6(3) = 27 − 45 + 18 = 0
Algoritmo de la división para polinomios

P( x ) (llamado dividendo) y Q(x ) (llamado divisor) de modo que el grado del
dividendo sea mayor que el grado del divisor y Q( x ) ≠ 0 .

Dados dos polinomios

Entonces, para

P(x )
existen dos polinomios únicos c( x ) y r ( x ) tales que cumplen con:
Q( x )

P( x ) = Q( x ) ⋅ c( x ) + r( x )
El polinomio

c(x ) se llama cociente y r (x ) es el residuo de la división cuyo grado es menor que el de P( x ) .
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Sean un polinomio P ( x ) de grado n ≥ 1 y

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

a ∈ R.

Teorema del residuo
Si el polinomio P ( x ) se divide por x −a , entonces el residuo es P (a ) .
Demostración:
Si se divide P

(x) entre

x − a se tiene:
P( x ) = Q( x )(x − a ) + R

( )

donde Q x es el cociente y R es el residuo.
Si ahora se evalúa x = a se obtiene:

P(a ) = Q(a )(a − a ) + R = 0 + R = R
De donde P(a ) es el residuo.
Ejemplo.
Sea el polinomio:

P ( x ) = 4 x 3 − 9 x 2 + 5 x − 11 , comprobar el teorema de residuo si sedivide por x − 2 .

Solución.
Dividiendo el polinomio por

x − 2:

4x − x + 3
x − 2 4 x 3 − 9 x 2 + 5 x − 11
2

− 4x 3 + 8x 2
− x 2 + 5 x − 11
x2 − 2x
3 x − 11
− 3x + 6
−5
ahora, evaluando para x = 2 :
3
2
P (2 ) = 4(2) − 9(2 ) + 5(2 ) − 11 = 32 − 36 + 10 − 11 = −5
Los resultados son iguales, lo que comprueba el teorema del residuo.
Teorema del factor

a es una raíz delpolinomio P( x ) , entonces x − a es un factor del polinomio. O bien, si x − a es un
factor de P ( x ) , entonces a es una raíz del polinomio. Esto es:

Si

P (a ) = 0

⇔

x − a es un factor de P( x ) .

Demostración:
Si x − a es factor de

P( x ) entonces se cumple que: P( x ) = Q( x )( x − a ) porque P(a ) = Q(a )(a − a ) = 0
por lo tanto, a es raíz de la ecuación P(x ) = 0 .
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()

Pero si a es raíz de la ecuación P x = 0 , esto implica que
Si se aplica el teorema del residuo se tiene que:

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

P(a ) = 0

P( x ) = Q( x )( x − a ) + P(a ) = Q( x )( x − a ) + 0 = Q( x )( x − a )
por lo tanto x − a es factor de P( x ) .Ejemplo
Determinar si

x + 2 es factor del polinomio P ( x ) = x 3 + 4 x 2 − x − 10

Solución:
Si x + 2 es factor,

x = −2 es raíz, entonces debe cumplir que el residuo sea cero:
2
P (− 2 ) = (− 2 ) + 4(− 2 ) − (− 2 ) − 10 = −8 + 16 + 2 − 10 = 0
Por lo tanto, x + 2 es factor del polinomio
3

Comprobando:

x 2 + 2x − 5
x 3 + 4 x 2 − x − 10

x+2

− x3 − 2x 2
2 x 2 − x − 10...