Ejercios Resueltos De Control Optimo

PRESENTACION

A continuación presentamos el segundo taller resuelto de Matemáticas IV; en este documento el contenido es en su totalidad ejercicios resueltos sobre CONTROL OPTIMO, que estamos viendo en el dictado de clases con nuestro docente.

Se realizó gracias a que todos pusimos un granito de esfuerzo para que se realizara este documento.

TRABAJO ENCARGADO N° 02
1).- resolver:
MaxV=∫_0^2▒(3y-2u^2 )dt sujeto a y ̇=3u-1 ; y(o)=1 ;y(2)=libre
Hallar la trayectoria dinámica de la variable de estado:
Hallar la trayectoria dinámica de coestado:
Hallar la trayectoria dinámica de control:
Hallar el valor optimo del funcional:
Realizar un gráfico del problema:
Solución:
La función Hamiltoniana:
H=(3y+〖2u〗^2 )+λ(2u-1 )
El Principio del máximo:dH/du=0 ⇛ -4u+3λ=0 u=(3λ)/4 … (1)
y ̇= dH/dλ ⇛y ̇=3u-1 … (2)
λ ̇=-dH/dy ⇛λ ̇=-3 … (3)
Resolviendo e integrando la ecuación (3)
λ=-3t+K_0 …(4)
Aplicando la condición de transversalidad λ_((T))=0
0=-6+K_0
K_0=6 …(5)
Reemplazando (5) en (4)
λ=-3t+6 …(6)
Reemplazando (6) en (1)
u=-9/4 t+9/2 …(7)

Reemplazando la ecuación (7) en (2)
y ̇=-27/4t^2+21/2 …(8)
Resolviendo e integrando la ecuación (8) se tiene
y=-9/4 t^3+21/2 t+k_1 …(9)
Aplicando la condición inicial en la ecuación (9)
y_((0) )=1 1=-9/4 0^3+21/2 0+k_1
k_1=1 …(10)
Reemplazando la ecuación (10) en (9)
y=-9/4 t^3+21/2 t+1
Hallamos el óptimo:
V=∫_0^2▒(3y+〖2u〗^2 )dt
V=∫_0^2▒(3(-9/4 t^3+21/2 t+1)+2〖(-9/4 t+9/2 )〗^2 )dt

Resolviendo el ejerciciotenemos los siguientes resultados:
Trayectoria dinámica de la variable de estado.
y(t)=-9/4 t^3+21/2 t+1
Trayectoria dinámica de coestado:
λ(t)=-3t+6
Trayectoria dinámica de control.
u(t)=-9/4 t+9/2
Valor óptimo del funcional.V=69

b. Gráficos del problema:

2).- resolver:
Max V=∫_0^1▒〖-u^2 dt〗 sujeto a y ̇=y+ u ; y(o)=1 ;y(1)=0
Hallarla trayectoria dinámica de la variable de estado:
Hallar la trayectoria dinámica de coestado:
Hallar la trayectoria dinámica de control:
Hallar el valor optimo del funcional:
Realizar un grafico del problema:
Solución:
Hamiltoniana:
H=-u^2+λ[y+ u]…………….(1)
El principio del máximo:
dH/du=0 → -2u+λ=0 → u=λ/2…………..(2)
Ecuación de movimiento de estado:
dH/dλ=y ̇ → y+ u=y ̇ →…………..(3)
Ecuación de movimiento de coestado:
-dH/dy=λ ̇ → -λ=λ ̇ → …………..(4)
Resolviendo:
λ ̇+λ=o ⇒ λ_p=0/1=0 ; λ_c=Ae^rt
r+1=0 ⇒ r=-1 entonces λ(t)= Ae^(-t)………….(5)
CONDICIÓN DE TRANSVERSALIDAD:
T=1 ∆T=o
y(T)=1 ∆y(T)=0
El ecu. 4 en 2:
u=(Ae^(-t))/2…………(5)
El ecu. 5 en 3:
y+ (Ae^(-t))/2=y ̇
(Ae^(-t))/2=y ̇-y
Resolviendo la ecuación diferencial:y_p=((Ae^(-t))/2)/1=(Ae^(-t))/2 ; r-1=0 ⇒ r=1
y_c=Be^t+(Ae^(-t))/2=y(t)…………..(6)
En 6 condición inicial y final:
y(0)=1 ⇒ 1=Be^0+(Ae^(-0))/2
1=B+A/2 ⇒2=2B+A ⇒ A=2-2B y 2B= 2-A
y(1)=0 ⇒ 0=Be^1+(Ae^(-1))/2
0=Be+A/2e ⇒ 2Be^2+A=0 ⇒ (2-A) e^2+A=0 ⇒ 2e^2-Ae^2+A=0
A=2.31
B= (2-A)/2=(2-2.31)/2=-0.155 ⇒ B=-0.155
Reemplazamos en la ecuación:y(t)=Be^t+(Ae^(-t))/2 ⇒ y(t)= 2.31e^t+(-0.155e^(-t))/2
u(t)=(Ae^(-t))/2 ⇒ u(t)=(-0.155e^(-t))/2 ⇒ u(t)=-0.0775e^(-t)
Hallando el valor optimo del funcional:
V=∫_0^1▒〖〖(-0.0775e^(-t))〗^2 dt〗
V=∫_0^1▒〖0.006e^(-2t) dt〗
V=[0.006/2 e^(-2t) ] 1¦0
V=-0.002599

Representación gráfica:

3).- resolver:
Max V=∫_0^1▒〖-1/2 (y^2-u^2 )dt〗 sujeto a y ̇=-y+ u ; y(o)=1;y(1)=libre
Hallar la trayectoria dinámica de la variable de estado:
Hallar la trayectoria dinámica de coestado:
Hallar la trayectoria dinámica de control:
Hallar el valor optimo del funcional:
Realizar un gráfico del problema:
Solución:
La hamiltoniana:
H=-1/2 (y^2-u^2 )+λ[-y+ u]…………….(1)
El principio del máximo:
dH/du=0 → -u+λ=0 → u=λ…………..(2)
Ecuación de movimiento de...