Elasticidad Y Resistencia De Materiales I

CAPÍTULO 1

TENSIÓN

Hoy trataremos algún aspecto del diseño
de una vasija o depósito de pared delgada
(t/r0 TRACCION
τ >0
τ

u
θ

⎛ σ∗ ⎞ ⎛ σ x
x
⎜ ∗⎟=⎜
⎜σ ⎟ ⎜τ
⎝ y ⎠ ⎝ xy

y

τ xy ⎞ ⎛ cos θ ⎞
⎟⎜
⎟
⎟
σ y ⎠ ⎝ senθ ⎠

σy
τxy

σ n = σ x cos 2 θ + τ xy sen2θ + σ y sen 2θ

σn
τ

σx
u

θ
θ

x

σy
σx
τ=
sen2θ −
sen2θ − τ xy cos 2θ
2
2

⎡
σx + σy ⎤σx − σy
cos 2θ + τ xy sen2θ
⎢σ n −
⎥=
2⎥
2
⎢
⎣
⎦
σx − σy
sen2θ − τ xy cos 2θ
τ=
2

que corresponden a la ecuación de una circunferencia
(en un plano cuyos ejes fueran σ y τ (Plano de Mohr)
de centro:

(σ x + σ y )/2
y radio:

1 (σ − σ )2 + τ 2
xy
4xy

τ

Existe una correspondencia biunívoca entre cada dirección
que consideremos en el punto elástico en estudio y unpunto del círculo de Mohr correspondiente a ese punto
elástico: a cada dirección que pasa por las proximidades
del punto P le corresponde un punto del círculo de Mohr
cuya abcisa es la componente normal del vector tensión
que actúa sobre la dirección considerada y cuya ordenada
es la componente tangencial de dicho vector tensión

(σ

y

,τ xy )

σ2

(τ max )

Una vez dibujado elcírculo de Mohr, pueden
(τ max ) obtenerse, por ejemplo,
σ los valores de las tensiones
principales así como las
σ1
(σ , − τ ) direcciones sobre las
que actúan.

C
⎛σ x +σ y ⎞
⎜
, 0⎟
⎟
⎜
2
⎠
⎝

2θ

(σ

x

, − τ xy )

PASOS PARA EL DIBUJO DEL CÍRCULO DE MOHR

A

B
A

A

A

C
B

B

C
B

OBTENCIÓN DE LAS TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES
σy

Direccióny
principal 2 σ
2

σx

σx
τxy
σy
τ
ε

σ1

Plano
principal 2

x

σ x +σ y

Plano
principal 1

2

y
τxy

σ2

τmax

σ1

σ
τxy

x

σy
σx

Dirección
principal 1

PROPIEDADES CIRCULO DE MOHR:

Obtención del Polo del Círculo de Mohr:
τ

y
(σy,τxy)

POLO

σ

(σx,-τxy)

x

Otros aspectos del círculo de Mohr.

σ
σ

σ

A (σ,τ)

θθ
σ

τ

τ

C

A

B
τ

σ

Direcciones en las que el
ángulo del vector tensión
con la normal al plano sobre
el que actúa es máximo

¿A qué dirección representa el POLO del círculo de Mohr?

τ

(σy,τxy)

POLO
σ

(σx,-τxy)

SOFTWARE DISPONIBLE EN LA RED

http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html

http://www.eng.usf.edu/~kaw/software/http://www.umoncton.ca/turk/CdeMohr.xls

TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS
(Problemas bidimensionales)
τ

z
σΙΙΙ=0

y

σΙΙ

σΙΙ

x

σΙ

τ max =
σ

σΙ

τ
σΙ

τmax

σΙΙ

Dirección de σIII

τmax

σΙ

σΙΙΙ=0

σΙ

σ

τ max =

σI
2

τ

Dirección de σIII
τmax

σΙΙ

τ max

σΙΙ

σΙ
σΙΙΙ=0

σ

τ max =

⎛ σ I − σ II σ I σ II ⎞
= Máximo de ⎜
,
,
⎟
2
22⎠
⎝

σ II
2

σ I − σ II
2

TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS
(Problemas tridimensionales)

τ max

⎛ σ1 − σ 2 σ1 − σ 3 σ 2 − σ 3
= Máximo de ⎜
,
,
⎜
2
2
2
⎝

⎞
⎟
⎟
⎠

Más, en la web, sobre círculo de Mohr:
http://www.engin.umich.edu/students/support/mepo/ELRC/me211/mohr.html

CAPÍTULO 2

DEFORMACIÓN

Al aplicar cargas a un sólido, éste se deforma.

Vamos asuponer que, las deformaciones que se producen dentro
del sólido son “pequeñas”de manera tal que, la geometría del sólido
antes y después de deformarse es, a efectos prácticos, la misma.

Sólido sin deformar

Sólido deformado

DEFORMACION LONGITUDINAL

∆l
εL =
l0

∆x

x = posición geométrica
u = desplazamiento experimentado
Configuración
sin deformar

Configuracióndeformada
P ∗Q ∗ − PQ
ε x (P ) = lim
∆x→0
PQ
P ∗ Q ∗ = OQ ∗ − OP ∗ = [x + ∆x + u (Q )] − [x + u (P )]
P ∗ Q ∗ − PQ = u (Q ) − u (P ) = ∆u

∆u ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟
ε x (P ) = lim
∆x→0 ∆x
⎝ dx ⎠ P

n
B

∆s

B*

∆s*

A

A*

Sólido
no deformado

Sólido
deformado

∆s * −∆s
ε = lim
B → A along n
∆s
a lo largo de n

∆s* ≈ (1 + ε )∆s
∆s *
ε≈
−1
∆s

DEFORMACION ANGULAR,...