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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
CARRERA: AUDITORÍA

TALLER N° 1 Matemáticas II

Cálculo de límites.

Profesor : María Gladys Agüero Soler
I.-

Cálculo de límites en un punto.
a) Ejercicios Resueltos
-x
1) lim B#4Bc12 de la forma
BÄ4
(x = lim (xc4)(x 4)3) = lim
+
xÄ 4

È# + x - È2
x
xÄ 0

2) lim

xÄ 4

Ä

0
0

0
0

4-x

Ê(trabajar) = lim (x - 4)(x + 3) factorizando por -1
xÄ 4

-1
(x + 3)

=

c1
7

Como no es factorizable, racionalizamos, amplificando por (È# + x + È2 )
ˆÈ# + x - È2‰ˆÈ# + x +È2‰
x ˆ È # + x + È 2‰
xÄ 0

para formar una suma por diferencia en el numerador Ê lim
ˆÈ2 + x )# - (È2 ‰#
xÄ 0 x ˆ È # + x + È 2‰

lim

xÄ 0 x ˆ È # + x + È 2‰

2+x -2

= lim

1 c È1 + x

=

1
=lim È 1 È = È 1 È = È
2+ 2
2 2
#+x+ 2
xÄ 0

3) lim È
como las cantidades subradicales son iguales y los índices son distintos
3
1+x c1
xÄ 0
hacemos una sustitución : 1 + x = u6 donde 6 es el mínimo común múltiplo de los índices, de donde
È 1 b x = È u 6 = u$

obtenemos que:

y

además: si x Ä 0 Ê u6 Ä 1 Ê u Ä 1 ¾
factorizando por -1 obtenemos:
%

$

3
3
È 1 + x = È u 6 =u#

1 - È1 + x
3
xÄ 0 È 1 + x - 1

lim

-(u - 1) (1 + u +u# )
(u + 1) (u - 1)
uÄ 1

lim

$
(1 - u) (1 + u +u# )
= lim 1#- -u1 = lim (u + 1) (u - 1)
uÄ 1 u
uÄ 1

- Ð1 + u +u# ‰
(u + 1)
uÄ 1

= lim

= c

3
#

#

4) lim x2x$x- - 2x ++ 5x- - 3 debemos factorizar y para ello usamos polinomios y división sintética.
7x# 6x 1
xÄ 1
1 -1 -# & -$
" como el resto es cero setiene que (x - 1) es factor de x% - x$ - 2x# + 5x - 3
" ! -# $
" ! -# $ !

2
2
¾

-7
2
-5

6
-5
1

como el resto es cero se tiene que (x - 1) es factor de 2x$ - 7x# + 6x - 1

"

-1
1
0

x% - x$ - 2x# + 5x - 3
$
#
xÄ1 2x - 7x + 6x - 1

lim

(x - 1) (x$ - 2x + 3)
#
xÄ1 (x -1) (2x -5x + 1)

= lim

= lim

xÄ 1

(x$ - 2x + 3)
(2x# -5x + 1)

2
= -2 = c 1b) Calcule, si es que existen, los siguientes límites.
"Ñ lim B #c$Bb#
BÄ# B bBc'

Bc%
#Ñ lim $ÐÈBc#Ñ
BÄ%

-x
$Ñ lim B#8bBc'
BÄ#

1
%Ñ lim 1- x - 1 -3x$
xÄ 1

&Ñ lim

'Ñ lim

#

È2 - x - 1
xÄ 1 2 - È x + 3

$Bc"#
BÄ% É #bÈ B c #

(Ñ lim

)Ñ lim

B# cÐ+b"ÑBb+
B$ c+$
BÄ+

10) lim

13) lim f (x)
xÄ 0

# c ÈBc$
B# c%*
BÄ(

y lim f (x) si
xÄ 3

ÈB c "11) lim È
$
Bc"
BÄ"
Ú % c B =3 B € $

0 ÐBÑ œ Û B c # =3 !  B  $
Ü B c " =3 B Ÿ !

$

4 - x#
xÄ 2 3 - È x# + 5

%
$
b"#B# c$#Bb$#
9) lim B c%Bc'B# b%Bb)
B$

BÄ#

$
ÈBc# c "
%
BÄ$ " c È Bc#

12) lim

14) Dada la función f definida por: 0 ÐxÑ œ œ
a) Calcule: lim b 0 ÐxÑ

=3 x € "
=3 x  "

2x + 5
3x

con a una constante.

lim c 0 ÐxÑ

y

xÄ 1

3x# +ax - 2

xÄ 1

b) Encuentre el valor de la constante a de modo que exista lim f (x)‚‚‚
xÄ 1

II.-

Límites al Infinito. Límites especiales.

a) Ejercicios resueltos: Calcular

x (Èx# + 1 c x) de la forma _ c _ Si se amplifica por el conjugado, se obtiene

1) lim

BÄ +_

x (Èx# + 1 c x) (Èx# + 1 b x)
(Èx# + 1 b x)

lim

BÄ +_

œ lim

BÄ +_

x ( x# + 1 c x# )
(Èx# + 1 bx)

x
Èx# + 1 b x)
(

= lim

BÄ +_

Dividiendo por x numerador y denominador
x
x
Èx# + 1
x

= lim

BÄ +_

+

1

= lim

x
x

xÄ +_

#
ÉB b"
x#

"

= lim
+1

xÄ +_

1
‚
Ê1 + x # + 1

=

"
#

1

2) lim (1 + x + x# ) x de la forma 1_ podemos usar el "teorema mágico"
xÄ 0

= e

Î
lim (1 + x + x# c Î † x
1) "

xÄ0

3) lim

BÄ!
0

/ x ce-x
x

=

e

"
lim ( x + x# ) † x
xÄ0

ecx Ð/2x c1)
x

= lim

BÄ!

lim a1 + xb

= e xÄ0

= e1 = e

e#x c 1
x
xÄ 0

= lim e cx † lim
xÄ 0

ae# b c 1
x
xÄ 0
x

= lim e cx † lim
xÄ 0

#

= e . ln e = 1 † 2 ln e = 2
b) Encontrar el límite indicado. Si el límite no existe, determine si la función tiende a +_ o -_ cuando
x tiende al valor dado.
#cB#
$B# b"...