ensayo

a) ∫sec5(x)

Solución: Para esta integral se hace la transformación
Sec5(x). Tang5/3(x) = sec4(x).tan2/3(x).sec(x).tan(x)
=sec4(x).(tan2(x))1/3.sec(x).tan(x)
= sec4(x). (sec2(x) – 1)1/3.sec(x).tan(x)

Ahora; Sustituyendo la transformación en el integral, nos queda
∫sec5 = ∫sec4(x) (sec2(x) –1)1/3.sec(x).tan(x) dx
Considerando U = sec(x) entonces du = sec(x).tan(x) dx
∫sec5(x).tan5/3(x) dx = ∫U4 (U2 – 1)1/3du

b) ∫xex sen(x) dx
Solución: Usando integración por partes
u =sen(x) dv = xex dx
du = cos(x) v = (x-1) ex
Resolviendo ∫dv = ∫xex dx, por integración por partes
U1 = x dv1 = ex
Du1 = dx v1= ex
∫xex dx = xex - ∫ex dx
∫xex dx = xex – ex + c
∫xex dx = (x – 1) ex + c
Así,
∫xex . sen(x) dx = sen(x) . ( x – 1) ex - ∫( x – 1 ) ex . cos(x) dx
∫xex . Sen(x) dx = (x – 1) sen(x) ex- ∫xex cos(x) dx + ∫ex cos(x) dx [1]
Por otro lado, usando nuevamente integración por partes
∫xex . Cos(x) dx
U2 = cos(x) dv2 = xex dx
Du2 = - sen(x) dx v2= ( x – 1 ) ex
∫xex cos(x) dx = cos(x) . (x – 1) ex - ∫(x – 1) ex . (- sen(x)) dx
∫xex cos(x) dx = (x-1) cos(x) . ex + ∫xex sen(x) dx - ∫ex sen(x) dx [2]
Sustituyendo [2] en [1], nosqueda
∫xex sen(x) dx = (x-1) sen(x) ex [(x-1) cos(x) + ∫xex sen(x) dx - ∫xex sen(x) dx - ∫ex sen(x) dx + ∫ex cos(x) dx
∫xex sen(x) dx = (x-1) sen(x) ex – (x-1) cos(x) ex - ∫xex sen(x) dx + ∫exsen(x) + ∫ex cos(x) dx
2∫xex sen(x) dx = (x-1) sen(x) ex – (x-1) cos(x) ex + ∫ex sen(x) dx + ∫ex cos(x) dx
Resolviendo
I3 = ∫ex sen(x) dx
U3 = ex dv3 = sen(x) dx
∫ex sen(x) dx= - ex cos(x) - ∫- cos(x) . ex dx
= - ex cos(x) + ∫ex cos(x) dx
U4 = ex dv4 = cos(x) dx
Du4 = ex v4 = sen(x)
∫ex sen(x) dx = - ex cos(x) + [ex sen(x)...