ensayos



UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
CÁLCULO DIFERENCIAL

GUÍA 10. DERIVADAS


INTRODUCCIÓN

En esta guía encuentra ejercicios en los que debe asociar la gráfica de una función con la de su derivada y viceversa, determinar la derivada de funciones dadas y utilizar el concepto de derivada para resolver problemas.

OBJETIVOS
Interpretar el concepto de derivada desde el punto de vistageométrico y físico.
Interpretar la derivada de una función como una nueva función.
Utilizar las reglas de derivación para encontrar la derivada de funciones no elementales.
METODOLOGÍA
En esta guía los estudiantes:
Leen los conceptos, estudian los ejemplos y resuelven los ejercicios planteados.
Asisten a las asesorías del tutor programadas por la Universidad.
Plantean sus inquietudes al tutor através de Chats, correo electrónico, clases virtuales.
Reciben orientaciones del tutor de manera presencial.
LOGROS
Un estudiante alcanzara sus logros si:

Asocia la gráfica de una función con la gráfica de su derivada
Hace un esbozo de la gráfica de la derivada de una función dada
Halla la derivada de una función dada utilizando las derivadas de funciones conocidas y las reglas de derivaciónEncuentra la ecuación de la recta tangente a una curva dada en un punto
Resuelve problemas de variación instantánea


CONCEPTOS BÁSICOS

PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

Definición:

La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P es:


OTRA DEFINICIÓN

La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P es:




EJEMPLO

Halle la ecuación de la rectatangente a la gráfica de la función en el punto (4,2)


En primer lugar hallemos la pendiente de la recta tangente usando límites:



Ahora hallemos la ecuación de la recta con la expresión:



Solución:
VELOCIDAD

La función f(x) que describe el movimiento se conoce con el nombre de función posición del objeto. En el intervalo desde t = a hasta t = b el cambio de posición esLa velocidad promedio en dicho intervalo es:


(donde h es la longitud del intervalo de tiempo (a,b)

La velocidad en el instante t = a (Velocidad instantánea) es:



RAZONES DE CAMBIO

Dada si x cambia de a entonces el cambio en x se llama incremento de x:
El correspondiente incremento de y es

El cociente de estos incrementos se llama Razón de cambio promedio de y conrespecto a x

Razón de cambio promedio=

La razón de cambio instantánea de con respecto a x en el punto es:

Razón de cambio instantáneo=






LA DERIVADA

Sea f(x) una función, la pendiente de la recta tangente (m) en un punto dado se llama derivada de f en dicho punto y se escribe:

= Derivada de f en el punto (x,f(x))

Notación
Sea una función, notamos la derivada así:
En unpunto particular (a,f(a)) escribimos:

EJEMPLO

Halle la derivada de en x = 2



En x = 2 la derivada es: 2(2)=4

La derivada de es

Generalización

Si usamos límites para hallar la derivada de obtenemos:







PROPIEDADES DE DERIVACIÓN

Sean f , g dos funciones entonces:

1. 2. 3.

4.




DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR


Sea y = f(x) unafunción entonces:

es la primera derivada o derivada de primer orden
es la segunda derivada o derivada de segundo orden

es la tercera derivada o derivada tercer orden
.
.
.
.
es la enésima derivada o derivada de orden n












EJEMPLO

1. Halle todas las derivadas de orden superior para


2. Halle la tercera derivada de



REGLA DE LA CADENA

Sif(u) es derivable en y g(x) derivable en x, entonces la compuesta es derivable en x. Además:



Usando la notación de Leibniz, si entonces:



REGLA DE LA CADENA PARA POTENCIAS

Si es una función derivable entonces:



EJEMPLOS

Sea halle su derivada



Sea calcule



DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Derivada de seno de x


Derivada de coseno de x...