Error En La Interpolación Polinomial

Teorema
(Error en la interpolación polinomial)

Sea f una función de clase C [a; b].

Consideremos el problema de interpolación correspondiente a unos nodos
a ≤ x1 < x2 < … < xn+1 ≤ b con valores y1 = f(x1), y2 = f(x2), …. ,
yn+1 = f(xn+1) y sea p el correspondiente polinomio interpolador.

Entonces para cada x perteneciente al intervalo [a; b] existe un punto
ξx perteneciente alintervalo (a; b) (que depende de x) que satisface

f(x) = p(x) + w(x) f ξx ;
(n+1)!

Siendo w(x) = (x - x1)(x - x2) ….(x - xn+1).

La forma practica de usar esta formula es acotar:

|Error(x)|= |f(x) - p(x)| ≤ |w(x)| Mn+1 ;
(n + 1)!

donde Mn+1 es una cota de |f | en [a; b].

Hay que hacer unaadvertencia con respecto a esta fórmula: en el exterior del intervalo [a; b] el valor de |w(x)| crece muy rápidamente.

En consecuencia el uso de interpolación para aproximar f(x) fuera de ese intervalo (extrapolación) debe evitarse.

En el caso particular de que los nodos estén equiespaciados
xi = x1 + (i - 1)h para i = 1;…; n + 1, y el polinomio p(x) se utiliza solo para interpolar en el intervalo[x1; xn+1]
se tiene:

|Error(x)| = |f(x) - p(x)| ≤ Mn+1 h = Ch ,
(n + 1)!

Donde Mn+1 es una cota de |f | en [x1; xn+1].

De la expresión anterior se deduce que cuando h tiende a cero, el error tiende

también a cero a la misma velocidad que h , lo que se expresa como

|Error(x)| = θ ( h)

El Error en la Interpolación Polinomial

Teorema 2

Sea f una función en C [a,b], y sea p un polinomio de grado ≤ n que interpola a la función f en n+1 puntos distintos x0,x1,….., xn en el intervalo [a,b]. Para cada x en [a,b] corresponde un punto ξx en (a,b) tal que:

n
f(x) – p(x) = 1 f ( ξx )∏ ( x – xi ) (1)
( n + 1)! i=0

Demostración

Si x es uno de los nodos de interpolación xi, la aseveración es obviamente cierta, en vista de que ambos lados de la ecuación (1) se reducen a cero. Así, tomamos a x como cualquier punto que no sea un nodo, y hacemos:

n
w(t)≡ ∏ ( t – xi ) Φ≡ f – p – λw,
i=0

donde λ es el numero real que permite que Φ(x) = 0. (Recordar que x ha sido fijado) por ende,
λ= f(x) – p(x).
w(x)

además, Φ pertenece a C [a,b], y Φ se anula en los n+2 puntos x,x0,x1,…..,xn.

El teorema de Rolle nos dice que Φ` tiene al menos n+1 ceros distintos en (a,b). Con el mismo razonamiento seconcluye que Φ`` tiene al menos n ceros distintos en (a,b). Si repetimos el argumento llegamos eventualmente a que Φ n+1 tiene al menos un cero, llamémoslo ξx, en (a,b). Además,

Φ = f - p - λw = f – (n+1)! λ.

Por consiguiente,

0 = Φ (ξx) = f (ξx) – (n+1)! λ = f (ξx) – (n+1)! f(x) – p(x).
w(x)

Despejando seobtiene

0= f (ξx) – (n+1)! f(x) – p(x).
w(x)

(n+1)! f(x) – p(x) = f (ξx)
w(x)

f(x) – p(x) = 1 f (ξx) w(x)
(n+1)!

n
f(x) – p(x) = 1 f (ξx) ∏ ( t – xi ) donde x=t
(n+1)! i=0

Observación:

Para que esta formula sea útil, la función en turno debe serconocida y diferenciable.

Problemas Resueltos.

1. Si se aproxima la función f(x) = sen x mediante un polinomio de grado nueve que interpola a f en diez puntos del intervalo [0,1], ¿Qué tan grande es el error en este intervalo?

Solución

Usamos la ecuación (1) del teorema anterior.
Ya que la función que interpola a f en diez puntos debe estar dentro del...