Espaciios Cubriente

La siguiente proposición es propiedad de levantaminetos, viene en el libro de Hatcher. Se toma en la definición de función cubriente que la función es suprayectiva. ˜ ˜ ˜ ˜ Proposición 1. Sean p X : (X, x ) → ( X, x0 ) y pY : (Y, y) → ( X, x0 ) espacios cubriente, arco-conexos, del espacio ( X, x0 ), localmente arco-conexo. Ex˜ ˜ ˜ ˜ iste un isomorfismo de espacios cubriente f : ( X, x ) → (Y, y)si y sólo si ˜ ˜ )) = ( pY )∗ (π1 (Y )). ( p X ) ∗ ( π1 ( X Demostración. La necesidad es consecuencia de p X = pY ◦ f . Para la suficiencia ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ considere los levantamientos ϕ : ( X, x ) →(Y, y) y ψ : (Y, y) → ( X, x ). Así, ψ ◦ ϕ es levantamiento. Por la unicidad del levantamiento, ψ ◦ ϕ es la identidad en ˜ ˜ ( X, x ). De igual manera, ϕ ◦ ψ = 1Y . Por lo tanto ϕ es isomorfismo deespacios ˜ cubriente. ˜ ˜ Problema 1. Sea p : ( X, x ) → ( X, x ) un espacio cubriente, arco-conexo de un espacio cubriente arco-conexo y localmente arco-conexo. Sea H el subgrupo ˜ ˜ p∗ (π1 ( X, x )).Demuestra que el grupo de transfomaciones cubriente es isomorfo a N ( H )/H, donde N ( H ) es el normalizador de H en π1 ( X, x ) ˜ ˜ Demostración. Sea G ( X ) el grupo de transformaciones cubriente deX. ˜ Existe una transformación cubriente f tal que f ( x ) = x si, y sólo si, existe σ ˜ una trayectoria x → x tal que [ pσ ] ∈ N ( H ). La necesidad es consecuencia de ˜ ˜ ˜ π1 ( X, x ) = {σ [γ]σ−1|[γ] ∈ π1 ( X, x )}. La suficiencia es por la proposición (1). ˜ Por la unicidad del levantamineto existe biyección ϕ : { x ∈ p−1 ( x0 )| f ( x ) = ˜ ˜ ˜ ˜ x para algún f ∈ G ( X )} → G ( X ). Sea Φ :N ( H ) → G ( X ), Φ([α]) = ϕ(α(1)), ˜ donde α es el levantamiento de α. Dados [α], [ β] ∈ N ( H ) y f = Φ[α], se cumple ˜ ˜ α f ( β) es levantamiento de αβ. Por la unicidad del levantamiento y al serϕ biyección se satisface ˜ Ψ[αβ] = ϕ( f β(1)) = Ψ[α]Ψ[ β] Por lo tanto Ψ es morfismo suprayectivo, epimorfismo. Además kerΨ = H. Por el Primer Teorema de Isomorfismo de grupos se sigue N ( H )/H es...