Espacio Euclideo

Prueba autoevaluaci´
on #4

Mat II

Curso 14-15

Prof. JLG

Grado en Ingenier´ıa Electr´
onica y Autom´
atica
Matem´aticas II. Curso 2014/2015.
Prueba autoevaluaci´on #4: El espacioeuclideo.

1) Considera el siguiente subespacio vectorial
M = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 , x1 + x2 − x3 − x4 = 0, 2x1 − x2 − x3 = 0}
i. Determina una base de M .
ii. Comprueba que (1, 0, 0, 0) ∈
/ My calcula su proyecci´on ortogonal sobre M .
iii. Indica la dimensi´on de M ⊥ y despu´es encuentra una base suya.
iv. Encuentra una base ortonormal B = {u1 , u2 , u3 , u4 } de R4 tal que u1 , u2 ∈M y
u3 , u 4 ∈ M ⊥
v. Encuentra las coordenadas del vector (1, −1, 0, 3) respecto de la base B.
2) Sea S = {(x, y, z) ∈ R3 , x + 2y − z = 0}.
i. Demuestra que S es un subespacio vectorial e indicasu dimensi´on.
ii. Da una base de S ⊥ .
iii. Sea u = (1, 1, 1). Demuestra que u ∈
/S yu∈
/ S ⊥ . Encuentra un vector a ∈ S y otro
b ∈ S ⊥ tal que u = a + b.
iv. Determina la proyecci´on delvector v = (3, 1, −1) sobre el subespacio vectorial S.
3) En P3 [x] se define el siguiente producto escalar:
∫ 1
p·q =
p(x)q(x) dx.
−1

i. Calcula la norma del polinomio x3 + 1
ii. Sea S =< 1, 1− x2 > ¿Cu´al es la dimensi´on de S ⊥ ? Da una base de S ⊥ .
iii. Determina el valor de α para que los polinomios (1 + x) y (x2 + α) sean ortogonales.
iv. Sea S =< 1+x, x2 +α > y α el valor que hasobtenido en el apartado iii. Comprueba
que x ∈
/ S y determina su proyecci´on ortogonal sobre S.

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Prueba autoevaluaci´
on #4

Mat II

Curso 14-15

Prof. JLG

4) Considera elsubespacio vectorial
(
S =<

1 1
0 0

) (
)
0 1
,
>
1 0

y definimos el siguiente producto escalar A · B = T r(AB T ).
i. Determina una base de S e indica su dimensi´on.
ii. Indica ladimensi´on de S ⊥ y determina una base suya.
iii. Comprueba si la base de S que has determinado en el apartado i. es ortonormal. En
el caso de que no lo sea, determina una base ortonormal de S.
iv....