Espacio Nulo de una Transformación Lineal.

Espacio Nulo de una Transformación Lineal.

En esta seccio´n definiremos el espacio nulo, tambi´en conocido como kernel o nu´cleo de una transformaci´on lineal.

Definici´on del espacio nulo de una transformaci´on lineal. Sea T una transformaci´on lineal de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V×, ambos definidos sobre un campo K. El espacio nulo de latransformaci´on lineal, T , denotada NT o ker(T ), se define como NT ⊆ V , tal que

NT = {˙v ∈ V|T (˙v) = ˙0 ∈ V×}

En simples palabras, el espacio nulo de una transformacio´n lineal es el conjunto de todos los vectores de V cuya imagen es el vector ˙0 ∈ V×.

Teorema. El espacio nulo de la transformaci´on lineal, T , es un subespacio de V.

Prueba: Es suficiente probar que el espacio nulo es unsubconjunto cerrado respecto a la adicio´n y a la multiplicacio´n por escalar. Suponga que ˙v1, ˙v2 ∈ NT y λ ∈ K, entonces

1. Cerrado respecto a la adici´on. Considere

T (˙v1 + ˙v2) = T (˙v1) + T (˙v2) = ˙0 + ˙0 = ˙0

Por lo tanto ˙v1 + ˙v2 ∈ NT , y el espacio nulo est´a cerrado respecto a la adicio´n.

2. Cerrado respecto a la multiplicaci´on por escalar. Considere

T (λ˙v1) = λT(˙v1) = λ˙0 = ˙0.

Por lo tanto λ˙v1 ∈ NT , y el espacio nulo est´a cerrado respecto a la multiplicacio´n por escalar. Por lo tanto NT ≤ V.

Definici´on de la Nulidad de una Transformaci´on Lineal. La dimensio´n del espacio nulo de una transformaci´on lineal T, se denomina la nulidad de T y se denota por ν(T ).















Figura 1: Representacio´n Gra´fica del Espacio Nuloy Rango de una Transformacio´n Lineal.





Debemos recordar que aplicando la definicio´n del rango de una trasformacio´n, funcio´n o mapeo a una transformaci´on lineal T ,que se denomina RT , se tiene que
RT = {˙v× ∈ V×|s T (˙v) = ˙v× para algu´n ˙v ∈ V}.
Teorema. El rango de una transformacio´n lineal T , RT , es un subespacio de V×.

Prueba: Nuevamente es suficiente probar queel conjunto esta´ cerrado respecto a la adicio´n y a la multiplicacio´n por escalar. Suponga que ˙v× , ˙v× ∈ RT y λ ∈ K, entonces

1. Cerrado respecto a la adici´on. Puesto que ˙v× , ˙v× ∈ RT existen ˙v1, ˙v2 ∈ V tales que

T (˙v1) = ˙v× y T (˙v2) = ˙v×

Puesto que V es un espacio vectorial, ˙v1 + ˙v2 ∈ V y

T (˙v1 + ˙v2) = T (˙v1) + T (˙v2) = ˙v× + ˙v× .

Por lo tanto, ˙v× +˙v× ∈ RT y RT est´a cerrado respecto a adicio´n.
2. Cerrado respecto a la multiplicaci´on por escalar. Puesto que V es un espacio vectorial, λ˙v1 ∈ V y
T (λ˙v1) = λT (˙v1) = λ˙v× .
Por lo tanto, λ˙v× ∈ RT y RT est´a cerrado respecto a la multiplicacio´n por escalar.

Definici´on del Rango de una Transformacio´n Lineal. La dimensio´n del rango de una transformacio´n lineal T , sedenomina la rango de T y se denota por p(T ).

Teorema. Una transformacio´n lineal T : V → V× es inyectiva si, y solo si, NT es exclusivamente el vector {0}.

Prueba: Suponga que T es inyectiva, entonces T (˙v1) = T (˙v2) implica que ˙v1 = ˙v2. Sea ˙v ∈ NT
arbitrario, entonces T (˙v) = ˙0 puesto que T (˙0) = ˙0, se tiene que
T (˙v) = T (˙0) por lo tanto ˙v = ˙0
Se concluye pues, que NT ={0}.
Suponga que NT = {0} entonces si
T (˙v1) = T (˙v2) ⇒ T (˙v1 − ˙v2) = ˙0.
Por lo tanto, ˙v1 − ˙v2 ∈ NT , pero puesto que NT = {0} entonces ˙v1 − ˙v2 = ˙0 ⇒ ˙v1 = ˙v2 y la transformacio´n lineal es inyectiva.

Teorema. Sea T : V → una transformaci´on lineal inyectiva, entonces si {˙v1, ˙v2,... , ˙vn} es linealmente independiente entonces {T (˙v1),T (˙v2),...,T (˙vn)} eslinealmente independiente. En otras palabras, una transformacio´n lineal inyectiva preserva la independencia lineal de los subconjuntos.

Teorema. Sea T una transformaci´on lineal de un espacio vectorial finito dimensional V sobre otro espacio vectorial V×, ambos definidos sobre un campo K. Sea {˙v1, ˙v2,..., ˙vq } una base para el espacio nulo de T y {˙v1, ˙v2,... , ˙vq , ˙vq+1,..., ˙vn} sea una...