Espacio vectorial

Índice

Introducción...............................2
Espacio Vectorial........................3
Subespacios...............................5
Combinación Lineal....................6
Espacio Generado.......................7
Independencia Lineal..................8
Bases y Dimensiones..................9
Conclusión................................11
Bibliografía..............................12Introducción

Un espacio vectorial también llamado espacio euclidiano es el conjunto de n- ordenadas, también conocido por espacio n-dimensional y de denota por Rn, este es una sucesión de n números reales ejemplo (a1 ,a2 ,...,an).

Para poder entender la definición de subespacio, combinación lineal, dimensión entre otros temas, primero se debe entender completamente la definición deespacio vectorial ya que todos estos temas se encuentran relacionados entre si.

Para poder entender y resolver problemas relacionados a estos temas primero debemos tener una buena base acerca de espacio vectorial ya que sin ella no podríamos comprender estos temas.

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadassuma y multiplicación por un escalar que satisfacen diez axiomas.

Antes de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos cosas. Primero, mientras que puede ayudar a pensar en R2 o R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos espacios. Segundo, la definición l da una definición deun espacio vectorial real. La palabra “real” significa que se usan son números reales. Seria igual de sencillo definir un espacio vectorial complejo usando números complejo sen lugar de reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presenta muy poca dificultad.
Axiomas de un espacio vectorial

1. Si x ∈ V  y y ∈ V, entonces x + y ∈ V(cerradura bajo la suma).

2. Para todo x, y y z en V, (x + y) + z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma de vectores).

3. Existe un vector 0 ∈ V tal que para todo x ∈ V, x + 0 = 0 + x = x (el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo).

4. Si x ∈ V , existe un vector -x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se llama inverso aditivo de x).

5. Si x y y están en V, entonces x + y = y + x
(ley conmutativa de la suma de vectores).

6. Si x ∈ V y α es un escalar , entonces αx ∈ V
(cerradura bajo la multiplicación por un escalar).

7. Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy(primera ley distributiva).

8. Si x ∈ V y α y ß son escalares, entonces (α + ß)x = αx + ßx
(segunda ley distributiva).

9. Si x ∈ V y α y ß son escalares, entonces α(ßx) = (α ß)x
(ley asociativa de la multiplicación por escalares).

10. Para cada vector x ∈ V, 1x = x

Ejemplo
El espacio Rn Sea V = Rn = { (x1 x2 ... xn) : xj ∈ Rpara i = 1, 2 , ... , n}.
Cada vector en Rn es una matriz de n x 1. Según la definición de suma de matrices, x + y es una matriz de n x 1 si x y y son matrices de nx 1. Haciendo 0= (0 0 ... 0) y -x = (-x1 -x2 ... –xn) , se ve que los axiomas 2 a 9 se obtienen de la definición de suma de vectores (matrices).
Nota. Los vectores en Rn se pueden escribir indistintamente comovectores renglón o vectores columna.

¿Qué es un espacio vectorial trivial?

Sea V = {0}. Es decir, V consiste solo en el número 0.
Como 0 + 0 = 1 • 0 = 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0 = 0, se ve que V es un espacio vectorial. Con frecuencia se le da el nombre de espacio vectorial trivial.

¿Cuándo un conjunto no es un espacio vectorial?

Sea V = {1}. Es decir, V consiste solo en el...