Espacios de banach

Facultad de Matem´ticas a

An´lisis Matem´tico VII a a

Curso 2009-2010

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TEMA 1. Espacios de Banach

En este primer tema introduciremos los espacios de Banach, que ser´n los protagoa nistas del curso, haciendo especial ´nfasis en los ejemplos. Tambi´n analizaremos e e algunas de sus propiedades fundamentales. 1. Espacios vectoriales El primer concepto clave es el de espaciovectorial. Puesto que vamos a considerar tanto espacios reales como complejos, usaremos F para denotar indistintamente al cuerpo de los n´ meros reales R o al de los complejos C. u Definici´n 1. Un espacio vectorial sobre F es un conjunto E con dos operaciones: o + : E × E −→ E (x, y) −→ x + y · : F × E −→ E (λ, x) −→ λx que verifican las siguientes propiedades: (a) x + y = y + x, x, y ∈ E. (b) (x + y) + z= x + (y + x), x, y, z ∈ E. (c) Existe un elemento 0 ∈ E tal que x + 0 = 0, para todo x ∈ E. (d) Para cada x ∈ E, existe −x ∈ E tal que x + (−x) = 0. (e) α(βx) = (αβ)x, x ∈ E, α, β ∈ F. (f ) (α + β)x = αx + βx, x ∈ E, α, β ∈ F. (g) α(x + y) = αx + αy, x, y ∈ E, α ∈ F. (h) 1 · x = x, x ∈ E. Los elementos de E se llaman vectores. Cuando F = R, decimos que E es un espacio vectorial real, y cuando F =C un espacio vectorial complejo. (suma) (producto por un escalar)

2 Observaci´n 1. Rigurosamente hablando, deber´ o ıamos decir que (E, +, ·) es un espacio vectorial, pues especificar las operaciones es importante en la definici´n. Sin o embargo, como en casi todos los ejemplos las operaciones son la suma y producto est´ndar, omitiremos ese detalle. a Ejemplo 2. 1. Los espacios vectoriales m´ssencillos son RN y CN : a RN = {(x1 , . . . , xN ) : x1 , . . . , xn ∈ R} CN = {(z1 , . . . , zN ) : z1 , . . . , zn ∈ C}.

2. Si X es un conjunto arbitrario y E es el subconjunto de todas las aplicaciones f : X → F, entonces E es espacio vectorial sobre F, con las operaciones naturales: (f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λf (x). 3. Cuando tomamos como caso particular X = N en el ejemploanterior obtenemos el conjunto de todas las sucesiones con elementos en F, que es por tanto un espacio vectorial con las operaciones: {xn }∞ + {yn }∞ = {xn + yn }∞ n=1 n=1 n=1

λ{xn }∞ = {λxn }∞ . n=1 n=1

Tambi´n usaremos para las sucesiones la notaci´n (x1 , x2 , . . .). e o Definici´n 3. Un subconjunto F de un espacio vectorial E se llama subespacio o vectorial si para λ, µ ∈ F y x, y ∈ F setiene λx + µy ∈ F . Se dice que F es un subespacio vectorial propio si F = {0}, F = E. Se puede tambi´n definir un subespacio vectorial de E como un subconjunto F e que es a su vez espacio vectorial con las mismas operaciones. Ejemplo 4. 1. Sea Ω un subconjunto abierto de RN . Los conjuntos C(Ω) C k (Ω) = funciones continuas en Ω; = funciones k veces derivables en Ω con derivadas k − ´simas continuasen Ω; e ∞ C (Ω) = funciones que admiten infinitas derivadas en Ω; ℘(Ω) = polinomios de N variables (como funciones definidas en Ω)

son subespacios vectoriales del espacio de las funciones definidas en Ω (es inmediato comprobarlo). Por tanto, todos ellos son espacios vectoriales con las operaciones naturales. 2. El conjunto l∞ de las sucesiones acotadas es un subespacio del espacio vectorial detodas las sucesiones. Luego l∞ es un espacio vectorial.

3 3. Sea p ≥ 1. Denotamos por lp al conjunto de las sucesiones {xn }∞ de elementos n=1 en F tales que
∞ n=1

|xn |p < +∞. Sin embargo no + {yn }∞ ∈ lp . n=1

Es inmediato probar que si {xn }∞ ∈ lp , entonces λ{xn }∞ ∈ lp . n=1 n=1 es tan evidente que dadas {xn }∞ , {yn }∞ ∈ lp se tenga {xn }∞ n=1 n=1 n=1 Esto se deduce de la desigualdadde Minkowski
∞ 1/p ∞ 1/p ∞

1/p

n=1

|xn + yn |

p

≤

n=1

|xn |

p

+
n=1

|yn |

p

que probaremos a continuaci´n. Como consecuencia, lp es un espacio vectorial sobre o F. Para probar la desigualdad de Minkowski haremos uso de la desigualdad de H¨lder, que demostraremos primero. Esta desigualdad resulta ser una herramienta o indispensable en el estudio de los...