espacios vectoriales

Capítulo 2

Espacios vectoriales
Los espacios vectoriales son el requisito básico y esencial para un profunda comprensión de
la matemática aplicada moderna. Nociones como espacios de vectores ordinarios, espacios de
polinomios (o más generalmente de funciones), espacios de matrices, espacios de operadores
y un largo etc., se unifican en la idea de espacio vectorial con el fin de hacer untratamiento
común. Es difícil pensar, por ejemplo, en alguna rama de la Física que no involucre, de una u
otra manera, el concepto de espacio vectorial. Pero no solo en Física se utilizan, sino en casi
todas las disciplinas relacionadas con las ciencias: economía, biología, ingeniería, informática,
etc.
Para entender el concepto de espacio vectorial el lector deberá recurrir frecuentemente
amotivaciones basadas en las n-uplas de Rn o, más concretamente, en los vectores de R3 ,
pero el objeto de estudio es un concepto abstracto, mucho más general, cuya comprensión y
manejo fluido es una de las finalidades principales de este curso. Naturalmente los ejemplos
que nos motivan serán una constante fuente de inspiración para encontrar las definiciones,
enunciados y demostraciones generales denuestra teoría.
De manera imprecisa, la idea de espacio vectorial hace su aparición en aquellas situaciones
en que cada elemento de un cierto conjunto a estudiar se obtiene como combinación lineal
(que se puede entender como una “superposición") de otros que se denominan básicos. Ya
hemos presentado algunos ejemplos importantes, como las matrices y, en particular, las nuplas. Pero hay otrosejemplos, no tan conocidos, como conjuntos de funciones (tales como
polinómicas, trigonométricas, exponenciales) con los que también se opera de forma similar.
Un concepto fundamental que aparecerá reiteradamente durante este capítulo es el de
independencia lineal, cuya definición parece particularmente simple, pero cuya comprensión
en toda su riqueza merece una atención especial. Realizarmuchos ejercicios con este nuevo
concepto y comprender bien como se utiliza en diversas demostraciones, es una recomendación que hacemos al lector.

2.1.

Definición. Operaciones con vectores

Antes de proporcionar una definición formal de espacio vectorial debemos conocer la definición abstracta de dos estructuras algebraicas básicas, como son grupo abeliano y cuerpo.
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1o de IngenieríaIndustrial. Álgebra. Ángel Giménez

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Definición 2.1 Sea G un conjunto y ∗ una operación binaria interna en G. Se dice
que el par (G, ∗) es un grupo si:
(g1) ∗ es asociativa.
(g2) Existe elemento neutro, esto es, existe e ∈ G tal que g ∗ e = e ∗ g = g.
(g3) Todo elemento es inversible.
Si además ∗ es conmutativa diremos que G es un grupo abeliano.

Ejemplos
1. (Rn , +) es un grupoabeliano.
2. (R, ·) no es un grupo, puesto que el 0 no admite inverso. Pero (R \ {0}, ·) si lo es.
3. El espacio de los vectores columna (Rn×1 , +) es un grupo abeliano.
4. (Rn×n , ·) no es un grupo, con la suma si lo es.
5. El conjunto de las matrices cuadradas regulares GL(n, R) de dimensión n con el producto usual de
matrices si tiene estructura de grupo. Se denomina grupo general lineal.

Acontinuación definimos una estructura algebraica donde interviene dos operaciones.

Definición 2.2 Sea K un conjunto sobre el que tenemos definidas dos operaciones
+ y ·. Diremos que la terna (K, +, ·) es un cuerpo si:
(c1) (K, +) es un grupo abeliano.
(c2) (K \ {0}, ·) es un grupo abeliano.
(c3) Verifica la propiedad distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c,

Ejemplo 2.1

a, b, c ∈ K.(R, +, ·) es un cuerpo.

(C, +, ·) es un cuerpo.

Un espacio vectorial es una formulación abstracta de las propiedades esenciales del espacio
euclídeo Rn . Dicho de otra manera, se trata de obtener una selección minimal de propiedades
sencillas de Rn a partir de las cuales se deduzcan todas las demás. Estas propiedades nos
siven como punto de partida (axiomas) para presentar nuestra...