Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES
DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BÁSICAS
Espacio vectorial real Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.
Notación. Si x y y están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como x + y y el productoescalar de a y x como a x.
AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL
 Si x V y Y V, entonces x+y V (cerradura bajo la suma)
 Para todo x,y y z en V, (x+y) = x + (y +z) (ley asociativa de la suma de vectores)
 Existe un vector 0 
V tal que para todo x 
V, x+0 = 0+x=x
 (el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)
 Si x V, existe un vector -x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se llama inversoaditivo de x)
 Si x y y están en V, entonces x+y= y+x (ley conmutativa de la suma de vectores)
 Si x 
V y a es un escalar, entonces a x 
- V ( cerradura bajo la multiplicación por un escalar)
 Si x y y están en V y 
es un escalar, entonces 
(x +y) = 
x +
y (primera ley distributiva)
 Si x 
V y 
y 
son escalares, entonces (
+
)x = 
x+x (Segunda ley distributiva)
 Si x V y y sonescalares, entonces (x) = ()x (ley asociativa de la multiplicación por escalares)
 Para cada vector x V, 1x= x

Subespacios
 
 
Definición: Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H mismo es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación escalar definidos en V, entonces H es un subespacio de V.
 
Teorema: Un subconjunto H no vacío delespacio vectorial V es un subespacio de V si satisface estas dos condiciones:
* si x є H  y  y є H, entonces x + y є H
* si x є H, entonces αx є H para todo α
 
 
Nota:  Este teorema señala que para demostrar que H es un subespacio de V es necesario que:
* x + y  y  αx  están en H cuando x  y  y  están en H y α es un escalar
* todo subespacio de un espacio vectorial V debecontener el vector cero.  Esto es, si un subconjunto no contiene el vector cero, entonces no es subespacio.
 
 
Ejemplos (para discusión):
 
1. Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto {0} que consiste del vector cero solamente es un subespacio, ya que 0 + 0 = 0  y  α0 = 0 para todo α.  A este subespacio se le conoce como el subespacio trivial.
 
2. V es un subespacio de sí mismo. 
 
Nota:  Estos dos primeros ejemplos ilustran que todo espacio vectorial V contiene  dos subespacios: {0} y V.  A los subespacios distintos de V y {0} se les llama subespacios propios.
 
3. Sea H = {(x, y)│y = mx} y V = R2 = {(x, y)│x, y є R}.  Entonces H es un subespacio de R2.  Esto es, todas las rectas que pasan por el origen son subespacio de R2.
 
4.Si  Pn  representa  el  espacio  vectorial  de  polinomios  de  grado ≤ n  y  0 < m < n, entonces Pm es un subespacio propio de Pn.
 
5. Sea Mmn el espacio vectorial de matrices de orden m x n con componentes reales y sea H = {A є Mmn│ a11 = 0}.  Por la definición de adición de matrices y el producto escalar, de que ambas clausuras se cumplen, H es un subespacio de Mmn.
 
1. Sea V = Mnn (matrices cuadradas n x n)y  H = {A є Mnn│A es invertible}.  Entonces H no es subespacio de V = Mnn, ya que la matriz cero n x n no está en H, porque no es invertible.
 
2. Sea Pn[0, 1] subconjunto de C[0, 1] donde Pn[0, 1] es el conjunto de polinomios definidos en el intervalo [0, 1] de grado ≤ n.  Porque todo polinomios es continuo y Pn es un espacio vectorial para todo entero n, tenemos que Pn[0, 1] es un subespacio deC[0, 1].
 
3. Sea C’[0, 1] el conjunto de funciones definidas en [0, 1] con la primera derivada continua.  Como toda función diferenciable es continua, tenemos que C’[0, 1] es subconjunto de C[0, 1].  En adición, como la suma y el producto escalar de dos funciones diferenciables son diferenciales, entonces C’[0, 1] es subespacio de C[0, 1].
 
4. Sea  entonces   existe  y...