Espacios Vectoriales

´ ´ Algebra Lineal y Geometr´ I. Curso 2010/11. Departamento de Algebra. http://www.departamento.us.es/da ıa

Cap´tulo 4 ı Espacios vectoriales
4.1. Estructuras algebraicas.
En temas anteriores hemos definido matrices y vectores, estudiando algunas de sus propiedades. Tambi´ n hemos trabajado con cuerpos de escalares, suponiendo que se trae taba de Q, R o C, pero sin dar m´ s detalles. Ahoravamos a estudiar con rigor estos a conceptos. Definiremos algunas de las principales estructuras que se utilizan en algebra, ´ como son: grupos, anillos, cuerpos y espacios vectoriales. A continuaci´ n nos centrareo mos en una de las estructuras que se estudian en esta asignatura: los espacios vectoriales. Las estructuras algebraicas son conjuntos donde hay definidas ciertas operaciones, quesatisfacen unas determinadas propiedades. Las operaciones pueden ser de varios tipos. Por ejemplo, una operaci´ n binaria interna, definida en un conjunto X, es una funci´ n o o que a dos elementos de X (dados en orden), le hace corresponder otro elemento de X. Es decir, una funci´ n o p : X × X → X. Por ejemplo, p podr´a ser la suma, la diferencia o la multiplicaci´ n de n´ meros reales. ı o u Observemosque, en ocasiones (la diferencia de n´ meros reales, por ejemplo) el orden en u que se den los dos elementos implicados influye en el resultado. Cuando se trabaja con una operaci´ n interna, se suele utilizar un s´mbolo, por ejemplo o ı ∗, de manera que el resultado de aplicar la operaci´ n a dos elementos, a y b, se escribe o a∗b. Un ejemplo t´pico es el s´mbolo + para la suma de n´ meros. Enocasiones, ni siquiera ı ı u se utiliza s´mbolo alguno, como en el caso del producto de n´ meros, donde ab representa ı u el producto de a y b. La primera estructura algebraica que estudiaremos, una de las m´ s b´ sicas y utilizadas, a a es la de grupo: Grupo Sea G un conjunto no vac´o, y sea ∗ una operaci´ n interna definida en G. Se dice ı o que (G, ∗) es un grupo, si se cumplen las siguientespropiedades: 1. Asociativa: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ∃e ∈ G tal que ∀a, b, c ∈ G. a ∗ e = e ∗ a = a, ∀a ∈ G.

2. Elemento neutro:

3. Elemento opuesto: ∀a ∈ G,

∃a ∈ G tal que

a ∗ a = a ∗ a = e.

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Normalmente, la operaci´ n interna ∗ ser´ la suma o el producto de elementos. En lao a notaci´ n aditiva, el elemento neutro se denota 0, y el elemento opuesto a a se denota −a. o En la notaci´ n multiplicativa, el elemento neutro se denota 1, y el elemento opuesto a a, o 1 que en este caso se llama el inverso de a, se suele denotar a−1 , o bien . a

Sea (G, ∗) un grupo. Se dice que G es conmutativo o abeliano si, adem´ s de las a propiedades de grupo, verifica la siguiente: 4.Propiedad conmutativa: a ∗ b = b ∗ a, ∀a, b ∈ G.

Ejemplo 4.1.1. Algunos ejemplos de grupos son los siguientes:

(Z, +), (Q, +), (R, +) y (C, +) son grupos abelianos aditivos.

(Q\{0}, ·), (R\{0}, ·) y (C\{0}, ·), donde · se refiere al producto, son grupos abelianos multiplicativos.

El conjunto de matrices m × n con entradas en un cuerpo K (ahora veremos la definici´ n de cuerpo), juntocon la suma de matrices, es un grupo abeliano aditivo. o

El conjunto de matrices cuadradas n × n no singulares con entradas en un cuerpo K, junto con la multiplicaci´ n de matrices, forma un grupo que se llama Grupo o lineal de orden n sobre K, y se denota Gl(n, K). Este grupo no es abeliano.

El conjunto de matrices cuadradas n × n con entradas en un cuerpo K, y con determinante igual a 1,junto con la multiplicaci´ n de matrices, forma un grupo o que se llama Grupo especial lineal de orden n sobre K, y se denota Sl(n, K). Tampoco es abeliano.

Los vectores de n coordenadas, con la suma de vectores, forman un grupo abeliano.

En ocasiones, se define m´ s de una operaci´ n interna sobre un conjunto. Existen esa o tructuras que dependen de dos o m´ s operaciones. Por ejemplo, la m´...