Espacios Vectoriales

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TEMA 9 F. MATEMATICOS.

TEMA 9
Espacios vectoriales.
1.

Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales

o
Definici´n 1 Sea V un conjunto dotado de una operaci´n interna “ + ” que llamaremos suma,
o
y sea IK un cuerpo conmutativo que define sobre V una operaci´n externa “ · ”, que llamaremos
o
producto por escalares.
α · a ∈ V, α ∈ IK y a ∈ V
Diremos que (V, +, ·, IK) es un espaciovectorial sobre IK, respecto de las operaciones
suma y producto por escalares si se verifican las siguientes condiciones:
1.

(V, +) es un grupo conmutativo.

2.

El producto por escalares cumple las siguientes propiedades:
2.1 1 · a = a

∀a ∈V

2.2 α · (β · a) = (αβ ) · a

∀ α, β ∈ IK, ∀ a ∈ V

2.3 α · (a + b) = (α · a) + (α · b)

∀ α ∈ IK, ∀ a, b ∈ V

2.4 (α + β ) · a = (α ·a) + (β · a)

∀ α, β ∈ IK, ∀ a ∈ V

Los elementos de V se denominan vectores y los de IK escalares.
Aunque son operaciones distintas la suma de vectores y la de escalares, por comodidad se
representan por el mismo signo. Igualmente omitimos el (.) del producto interno en IK. Cuando
IK≡ IR, el espacio vectorial se llama real.
Propiedades.1. ∀a ∈ V : 0 · a = 0.
2. ∀α ∈ IK : α · 0 = 0.
3.∀a ∈ V, ∀α ∈ IK : −(α · a) = (−α) · a = α · (−a).
Definici´n 2 (Subespacio vectorial) Sea (V, +, ·, IK) un espacio vectorial y F una parte no
o
vac´ de V , se dice que F es subespacio vectorial de V , si las restricciones a F de las dos
ıa
operaciones de V , dotan a F de una estructura de espacio vectorial, es decir si:
1.

(F, +) es subgrupo de (V, +) (a, b ∈ F ⇒ a − b ∈ F )

2.

α ∈ IK,a ∈ F ⇒ α · a ∈ F

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FUNDAMENTOS MATEMATICOS

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TEMA 9 F. MATEMATICOS.
Teorema 1 (Caracterizaci´n de subespacios vectoriales) Sea (V, +, ·, IK) un espacio veco
torial y sea F una parte no vac´ de V . F es subespacio vectorial de V si y s´lo si:
ıa
o
∀α, β ∈ IK, ∀a, b ∈ F ⇒ α · a + β · b ∈ F
Obs´rvese que:
e
El vector nulo 0 pertenece a todoslos subespacios de un espacio V .
Un espacio vectorial V tiene como subespacios, entre otros posibles, al conjunto {0},
formado s´lo por el vector nulo, que se llamar´ subespacio nulo. El mismo espacio V es
o
a
un subespacio de s´ mismo. Los dem´s subespacios de V , distintos de V y {0}, se llaman
ı
a
subespacios propios.

2.

Intersecci´n y suma de subespacios
o

Definici´n 3(Intersecci´n de subespacios vectoriales) Sea (V, +, ·, IK) un espacio veco
o
torial. Se define la intersecci´n (∩) de dos subespacios vectoriales U y W de V, como el
o
subconjunto de V que verifica:
a ∈ U ∩ W ⇐⇒ a ∈ U ∧ a ∈ W
Teorema 2 La intersecci´n de un n´mero cualquiera de subespacios vectoriales de un espacio
o
u
vectorial V es, a su vez, un subespacio vectorial de V.
La uni´n desubespacios de un espacio vectorial V , en general no es un subespacio de V .
o
Definici´n 4 (Suma de subespacios) Sea (V, +, ·, IK) y sean U1 y U2 dos subespacios de
o
V. Se llama suma de U1 y U2 al conjunto, que se denota U1 + U2 :
U1 + U2 = {u1 + u2 / u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 }
Teorema 3 El conjunto U1 + U2 es un subespacio de V; es m´s, se trata del menor de todos
a
los subespacios que contienen a U1y U2 .
Definici´n 5 (Suma directa) Sean U1 y U2 subespacios de un espacio vectorial (V, +, ·, IK)
o
y sea L ⊆ V , U1 + U2 es suma directa de L, lo que se denota poniendo U1 ⊕ U2 = L, si se
verifica que U1 + U2 = L y U1 ∩ U2 = {0}
Si L = V a los subespacios U1 , U2 se les denominan subespacios suplementarios.

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FUNDAMENTOS MATEMATICOS

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TEMA 9F. MATEMATICOS.

3.

Combinaci´n lineal. Subespacio generado por un conjunto de
o
vectores

Definici´n 6 (Combinaci´n lineal) Sea (V, +, ·, IK) un espacio vectorial. Se llama combio
o
naci´n lineal de los vectores v1 , v2 , ..., vp ∈ V a todo vector x de V de la forma:
o
x = λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λp vp ,

con λ1 , λ2 , ..., λp ∈ IK.

Definici´n 7 (Subespacio vectorial generado por...