Espacios Vectoriales

Espacios vectoriales

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Algebra Lineal - Isabel Arratia Zárate

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En el estudio de las matrices y, en
particular, de los sistemas de ecuaciones
lineales realizamos sumas y multiplicación por
escalares con un tipo especial de matrices, las
de orden nx1.
Abusando del lenguaje y la notación establecimos la
correspondencia:
 x1

x2
 .
 ..
 .

 xn










(x 1, x 2 , . . . . , x n )

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n
Es decir, aceptamos que Mnx 1(  )   , con el fin de
aprovechar la familiaridad que se tiene con los espacios

2 y 3.

En este capítulo estudiaremos conjuntos que
n
poseen propiedades algebraicas similares a  .
Adichos conjuntos se les dará el nombre de
espacios vectoriales y a sus elementos el
nombre de vectores.
En lo que sigue  designará al cuerpo  de los números
reales o al cuerpo C de los números complejos.

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Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial sobre el cuerpo
de objetosV con dos operaciones:
(1) + : V x V

V ; (u, v)



es un conjunto
u+v

que es asociativa, conmutativa, posee elemento neutro
(cero) y cada elemento posee un inverso.
(2) p:

xV

V ; ( , v)

 v

que satisface lo siguiente:

i)  ( v )  (  )v ; ,   ; v  V
ii) (    )v   v   v;  ,   ;  v  V
iii) (u  v )   u   v;   ; u, v  V
iv ) 1  v  v;  v  V, con 1elemento unidad de 
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La operación (1) es interna en V; se llama suma
o adición. La operación (2) es externa y se llama
multiplicación por escalar o ponderación.

Los elementos de V se llaman vectores y los de 
escalares. Si    , se dice que V es un espacio
vectorial real. Si  = C , elespacio vectorial V se dice
complejo.
En cualquier espacio vectorial V sobre

a)
b)
c)

0  v  0 , v  V
  0  0,   
  v  0  (  0

d)

(-1)  v   v,





se tiene que:

v  0)

v  V

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Ejemplos de espacios vectoriales
(1)

Para n número natural, sea
(n veces), es decir,

n    . . . .  

n  { ( x1, . . . . . , x n ) / x i  , i  1, . . . . , n }
n con las operaciones siguientes:

( x1, . . . . , x n )  ( a1, . . . . , a n )  ( x1  a1, . . . . , x n  an )
 ( x1, . . . . , x n )  (  x1, . . . . ,  x n ) ,   

es un espacio vectorial real.
En consecuencia,  es un espacio vectorial
sobre sí mismo.__________________________________________________________________
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El espacio vectorial real

2

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El espacio vectorial real

3

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Suma en

3
Ponderación en

3__________________________________________________________________
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(2) No sólo  es un espacio vectorial sobre  . Si IK es
un cuerpo, IK es un espacio vectorial sobre si mismo. En
este caso, la ponderación coincide con la multiplicación
del cuerpo IK. En consecuencia, C (números complejos)
es un espacio vectorial complejo. Pero C también es un
espacio vectorial real si seconsidera la ponderación:
 ( a  bi )   a   bi ,   
(3) Para m , n  IN , el conjunto M mxn (  ) de las matrices
reales de orden mxn, con las operaciones suma y
multiplicación habituales de las matrices, es un espacio
vectorial real.
(4) El conjunto  [ x ] de los polinomios en x con coeficientes
reales, con las operaciones suma y ponderación usuales,
es un espacio vectorial sobre ...