Esperanza matematica

Cap´ıtulo 6

´ tica
Esperanza Matema

6.1.

Esperanza Matem´
atica de Variables Aleatorias Discretas.

Recordemos que una variable aleatoria X es discreta, si existe una sucesi´on (xn )n≥1 de n´
umeros reales
tales que
∞

P (X = xn ) = 1.
n=1

Comenzaremos por definir la noci´on de valor esperado para variables aleatorias discretas.
Definici´
on 6.1 Sea X una variable aleatoria discreta con lanotaci´on anterior, y llamemos pn = P (X =
xn ), n = 1, 2, . . . . Diremos que existe el valor esperado, la media o la esperanza matem´
atica de X si la serie
∞

|xn |pn

(6.1)

n=1

es convergente. En ese caso, el valor esperado se denota E(X) y se define mediante la serie
∞

E(X) =

xn pn .

(6.2)

n=1

Ejemplo 6.1
Sea X el resultado de lanzar un dado, entonces X toma valores {1, 2, 3, 4, 5, 6}con probabilidad uniforme
en este conjunto. Por lo tanto
6

E(X) =

i
i=1

21
1
=
= 3.5
6
6

Observamos que en este caso el valor esperado no es un valor posible de la variable aleatoria.

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CAP´
ITULO 6. ESPERANZA MATEMATICA

146

6.1.1.

Propiedades

La esperanza matem´atica de una variable discreta tiene las siguientes propiedades.
Propiedad 1. Si X ≥ 0 y existe E(X), entonces E(X) ≥ 0.
Es obvioque si X ≥ 0, los valores xn que figuran en la suma (6.1) son no-negativos, y si dicha serie es
convergente, la suma tambi´en ser´a no-negativa.
Propiedad 2. Si X es una variable aleatoria acotada entonces existe E(X).
Decir que la variable aleatoria X es acotada es decir que existe una constante C tal que
|xn | ≤ C

para todo n,

y, por lo tanto,
N

N

|xn |pn ≤ C
n=1

pn ≤ C.
n=1

Es decir quelas sumas parciales de la serie (6.1) resultan estar acotadas por la constante C. Ahora
bien, recordemos que para una serie de t´erminos no-negativos – es el caso de la serie (6.1) – es necesario
y suficiente para que converja que sus sumas parciales est´en acotadas. Como las de (6.1) lo est´an, esta
serie es convergente y el valor esperado de X existe.
Observaci´
on 6.1 Una primera observaci´ones que si una variable aleatoria toma s´olamente un n´
umero
finito de valores, entonces su esperanza matem´atica est´a bien definida, ya que (6.1) se reduce a una
suma finita.
Por otra parte, no siempre existe el valor esperado de una variable aleatoria. Por ejemplo, consideremos
la variable aleatoria X tal que
xn = 2n

pn = P (X = 2n ) =

y

Es claro que

1
,
2n

n ≥ 1.

∞

pn = 1.
n=1

Se tieneque xn pn = 1, para todo n y por lo tanto, la serie (6.1) es divergente, de modo que esta
variable aleatoria no tiene esperanza matem´atica.
En algunos textos el lector encontrar´a que, en casos como el de este ejemplo, en el cual la variable
aleatoria X es no-negativa y la serie (6.1) diverge, se conviene en definir E(X) = +∞ en lugar de hacer
como hemos optado, esto es, decir que no existe laesperanza.
Se debe hacer especial atenci´on, sin embargo, en que si la variable no es no-negativa (o, en general, de
signo constante), no hay esa opci´on convencional. Por ejemplo, si modificamos el ejemplo considerado
y tomamos la variable aleatoria Y tal que
P (Y = 2n ) =

1
2n+1

P (Y = −2n ) =

1
2n+1

n ≥ 1,

entonces, nuevamente (6.1) diverge y no existe E(Y ).
Propiedad 3. Sea A un evento y1A la variable aleatoria definida por:
1A (ω) =

1
0

si ω ∈ A
si ω ∈
/A

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6.1. ESPERANZA MATEMATICA
DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.

147

Entonces
E(1A ) = P (A).
Es claro que 1A es discreta, ya que toma solamente dos valores y
E(1A ) = 1 × P (1A = 1) + 0 × P (1A = 0) = P (A).
Propiedad 4. Sea g : R → R una funci´on y consideremos la nueva variable aleatoria (discreta)
Y = g(X).
Entonces, siexiste la esperanza matem´atica de Y , ´esta es
∞

E(Y ) =

g(xn )pn .

(6.3)

n=1

Demostraci´on. Llamemos {ym } a los valores de Y , entonces
ym P (Y = ym ).

E(Y ) =

(6.4)

m

Por otra parte el evento {Y = ym } es igual a
{X = xn para alg´
un xn tal que g(xn ) = ym },
puesto que decir que Y toma el valor ym equivale a decir que X toma un valor cuya imagen por la
funci´
on g es ym . Por lo...